[論文レビュー] On the Quantum Jarzynski Identity

Gavin E. Crooks|ArXiv.org|Jun 13, 2007

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 26被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、直接の仕事測定を避けるために、環境からの熱流量を測定するためのエルミート写像スーパーオペレーターを用いて、量子Jarzynski恒等式の新しい導出を提示する。時間発展演算子をエネルギー射影写像でラッピングすることにより、量子仕事分布のコン pact で干渉のない表現が可能となり、離散的および連続的時間極限において正確な量子Jarzynski等式が得られる。

ABSTRACT

In this note, we will discuss how to compactly express and prove the Jarzynski identity for an open quantum system with dissipative dynamics. We will avoid explicitly measuring the work directly, which is tantamount to continuously monitoring the system, and instead measure the heat flow from the environment. We represent the measurement of heat flow with Hermitian map superoperators that act on the system density matrix. Hermitian maps provide a convenient and compact representation of sequential measurement and correlation functions.

研究の動機と目的

• 直接の仕事の連続的モニタリングを避ける、干渉のない測定に基づく量子Jarzynski恒等式の導出を目的とする。
• 系の密度行列に作用するエルミート写像スーパーオペレーターを用いて、環境からの熱流量を表現する。
• 散乱ダイナミクスを示すオープン量子系における、仕事のボルツマン重み平均のコン pact なトレースベースの形式を確立する。
• 直接の仕事ではなく、系-バスタームのエネルギー交換に着目することで、Jarzynski恒等式をオープン量子系へ一般化する。
• エネルギー射影写像を含むスーパーオペレーター積のテレスコピング構造から、量子Jarzynski恒等式が自然に導かれる様子を示す。

提案手法

• 初期および最終時刻における系のエネルギーを射影するため、$\mathcal{R}_t = e^{-\frac{\beta}{2}H_t}\cdot e^{-\frac{\beta}{2}H_t}$ を用いる。
• 熱流量測定をスーパーオペレーター $\mathcal{R}^{-1}_t \mathcal{S}_t \mathcal{R}_t$ で表現する。ここで $\mathcal{S}_t$ は系の時間発展演算子である。
• ボルツマン重み平均の仕事は $\left\langle e^{-\beta W}\right\rangle = \operatorname{tr}\left[\mathcal{R}_{\tau} \left(\prod_t \mathcal{R}^{-1}_t \mathcal{S}_t \mathcal{R}_t\right) \mathcal{R}^{-1}_0 \rho^{\text{eq}}_0\right]$ として構築する。
• 平衡密度行列 $\rho^{\text{eq}}_t = e^{\beta F_t - \beta H_t}$ と分配関数 $Z(t) = \operatorname{tr} e^{-\beta H_t}$ を用いて、積のテレスコピングを可能にする。
• スーパーオペレーター積が $Z(\tau)/Z(0) = e^{-\beta \Delta F}$ に収束することを示し、正確な量子Jarzynski恒等式を回復する。
• 連続時間極限では Lindblad 形式を用いて一般化する：$\left\langle e^{-\beta W}\right\rangle = \operatorname{tr}\left[\mathcal{R}(t) \exp\left\{\int_0^\tau R(t)^{-1}\mathcal{L}(t)\mathcal{R}(t) dt\right\} \mathcal{R}(0)^{-1} \rho^{\text{eq}}_0\right]$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オープン量子系において、直接の仕事測定を避けて量子Jarzynski恒等式をどのように導出できるか？
• RQ2 量子非平衡熱力学において、環境からの熱流量を仕事の代理として用いることは可能か？
• RQ3 エルミート写像スーパーオペレーターは、量子ダイナミクスにおける逐次測定および相関関数の表現において果たす役割は何か？
• RQ4 エネルギー射影写像 $\mathcal{R}_t$ を用いることで、量子仕事平均のコン pact かつ干渉のない定式化がどのように可能になるか？
• RQ5 スーパーオペレーター積 $\mathcal{R}_{\tau} \prod_t (\mathcal{R}^{-1}_t \mathcal{S}_t \mathcal{R}_t) \mathcal{R}^{-1}_0$ がいつ $e^{-\beta \Delta F}$ に収束するか？

主な発見

• 直接の仕事測定とそれに伴う量子の反作用を避けるために、エルミート写像スーパーオペレーターによる熱流量測定を用いて、量子Jarzynski恒等式が導出された。
• ボルツマン重み平均の仕事は $\left\langle e^{-\beta W}\right\rangle = \operatorname{tr}\left[\mathcal{R}_{\tau} \left(\prod_t \mathcal{R}^{-1}_t \mathcal{S}_t \mathcal{R}_t\right) \mathcal{R}^{-1}_0 \rho^{\text{eq}}_0\right]$ として表現され、非平衡ダイナミクスをコン pact に符号化している。
• スーパーオペレーター積は $\mathcal{R}_t$ と $\rho^{\text{eq}}_t$ の構造のおかげでテレスコピングし、$Z(\tau)/Z(0) = e^{-\beta \Delta F}$ に収束する。これは正確な量子Jarzynski恒等式である。
• 本手法は離散的および連続的時間両方で有効であり、連続極限は生成子 $\mathcal{L}(t)$ を含む Lindblad 形式で表現される。
• 形式は、系-環境結合に起因する追加の干渉を除き、物理的整合性を保つ。
• 本アプローチは、測定可能な熱流量を用いて非平衡量子プロセスからの自由エネルギー差を厳密に非摂動的に計算する、きめ細やかなフレームワークを提供する。