[論文レビュー] On the rate of convergence of empirical measures in $\infty$-transportation distance

Nicolás García Trillos, Dejan Slepčev|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界で連結な領域に含まれる絶対連続確率測度からのi.i.d.標本に対して、∞-輸送距離における経験的測度の収束速度の最適な上界を確立する。この上界は、2次元では $ \frac{\ln(n)^{3/4}}{n^{1/2}} $、$ d \geq 3 $ の次元では $ \frac{\ln(n)^{1/d}}{n^{1/d}} $ のスケーリングを示し、高い確率で成り立ち、標本サイズ $ n $ に関するスケーリングの観点からタイトであることが示された。

ABSTRACT

We consider random i.i.d. samples of absolutely continuous measures on bounded connected domains. We prove an upper bound on the $\infty$-transportation distance between the measure and the empirical measure of the sample. The bound is optimal in terms of scaling with the number of sample points.

研究の動機と目的

• ∞-輸送距離における確率測度とその経験的対応物の間の鋭い収束速度推定値の欠如に対処する。
• 標本数 $ n $ に関するスケーリングにおいて最適である非漸近的上界を確立する。
• 最小最大マッチングおよび最適輸送に関する先行研究を、Lipschitz境界を持つ領域上での有界密度をもつ一般の絶対連続測度へと拡張する。
• 基礎となる測度に対する最小限の正則性仮定のもとで、収束速度の確率的解析を提供する。
• 特に2次元における対数補正項の重要性を強調しつつ、$ n $-スケーリングの観点から導出された上界の最適性を確認する。

提案手法

• 領域をデイアディックキューブに分解することで、経験的測度と真の測度の間の局所的差異を制御する。
• 領域の部分領域と参照キューブの間の双リプシッツ写像を構築し、正則グリッドからのマッチング推定値を不規則な領域へと移行する。
• デイアディックレベルにおける集中不等式と和集合の不等式を適用し、すべての標本点における最大移動距離を制御する。
• 密度が0および無限大から一様に離れていることを利用し、領域全体にわたる均一なサンプリング行動を保証する。
• 離散設定における∞-輸送距離が最小最大マッチング距離と同値であることを確立し、マッチング理論の手法を用いることを可能にする。
• 既知の文献における単位キューブ上のルベーグ測度に対する下界と比較することで、導出された上界が最適であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本数 $ n $ に関する観点で、確率測度とその経験的測度の間の∞-輸送距離の最適収束速度は何か？
• RQ2 収束速度は次元 $ d $ にどのように依存するか。特に2次元および $ d \geq 3 $ の場合に注目する。
• RQ3 基礎となる測度がLipschitz境界を持つ領域上で有界密度を持つ場合、収束速度を改善または厳密化できるか？
• RQ4 2次元における対数補正係数 $ \ln(n)^{3/4} $ および高次元における $ \ln(n)^{1/d} $ は、必要かつ最適であるか？
• RQ5 この上界は高い確率で成り立ち、$ n $-スケーリングの観点からタイトであることが示せるか？

主な発見

• 本稿は、真の測度 $ \nu $ と経験的測度 $ \nu_n $ 間の∞-輸送距離に対して、2次元では $ \frac{\ln(n)^{3/4}}{n^{1/2}} $ のスケーリングを示す上界を確立した。
• 次元 $ d \geq 3 $ では、上界は $ \frac{\ln(n)^{1/d}}{n^{1/d}} $ のスケーリングを示し、対数要因を除いて既知の下界と一致する。
• この上界は、高い確率で成り立ち、具体的には任意の固定 $ \alpha > 2 $ に対して確率 $ O(n^{-\alpha/2}) $ の集合を除いて成り立つ。
• 導出された上界は、$ n $ に関するスケーリングの観点で最適であり、与えられた仮定のもとでより速い収束速度は不可能であることを意味する。
• 単位キューブ上での最小最大マッチングに関する先行研究を、Lipschitz境界を持つ領域上での有界密度をもつ一般の絶対連続測度へと拡張した。
• 証明は、デイアディックキューブへの領域分解と、正則グリッドから領域の幾何構造へとマッチング推定値を移行させるための双リプシッツ写像の構築に依存している。