[論文レビュー] Partial regularity and smooth topology-preserving approximations of rough domains

J. M. Ball, Arghir Zarnescu|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の有界な $ C^0 $ 領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^m $（$ m = 2,3 $ またはオイラー特徴標数が非ゼロの場合）が、標準的な良い方向の場と関連する流れを用いて、滑らかで位相を保存する $ C^\infty $ 領域への近似が可能であることを確立している。主な貢献は部分的正則性に関する結果である：このような領域は、全体としてリプシッツでない場合でも、ある境界点の近傍で局所的にリプシッツ的である。

ABSTRACT

For a bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^m, m\geq 2,$ of class $C^0$, the properties are studied of fields of `good directions', that is the directions with respect to which $\partialΩ$ can be locally represented as the graph of a continuous function. For any such domain there is a canonical smooth field of good directions defined in a suitable neighbourhood of $\partialΩ$, in terms of which a corresponding flow can be defined. Using this flow it is shown that $Ω$ can be approximated from the inside and the outside by diffeomorphic domains of class $C^\infty$. Whether or not the image of a general continuous field of good directions (pseudonormals) defined on $\partialΩ$ is the whole of $\mathbb{S}^{m-1}$ is shown to depend on the topology of $Ω$. These considerations are used to prove that if $m=2,3$, or if $Ω$ has nonzero Euler characteristic, there is a point $P\in\partialΩ$ in the neighbourhood of which $\partialΩ$ is Lipschitz. The results provide new information even for more regular domains, with Lipschitz or smooth boundaries.

研究の動機と目的

• 粗い $ C^0 $ 領域を滑らかで位相的構造を保存する $ C^\infty $ 領域に近似する一般的で体系的な手法の開発。
• 境界が局所的にグラフ的である相対的な「良い方向」の場にかかる位相的制約を分析し、その全射性を検討すること。
• 特定の位相的条件（例：$ m=2,3 $ または非ゼロのオイラー特徴標数）の下で、境界が一部の点で局所的にリプシッツ的であることを示す、$ C^0 $ 領域の部分的正則性を確立すること。
• PDE や微分幾何学における一般の $ C^0 $ 領域を統一的に取り扱う枠組みを提供し、個別的な仮定を避けること。
• 自由境界問題、最適設計、破壊力学などの特異点を有する領域に対して、微分同相型と位相同相型を保存する滑らかな近似を構築することで、既存の手法を拡張すること。

提案手法

• 境界点における「良い方向」とは、その点の近傍で境界が連続関数のグラフとして表せる単位ベクトルであり、$ \mathbb{S}^{m-1} $ の測地的凸部分集合をなすことを定義する。
• 局所座標系と分区画の技術を用いて、$ \partial\Omega $ の近傍で滑らかな良い方向の場を標準的に構成する。
• 良い方向の場に沿った流れを定義し、$ \rho $ を正則化された符号付き距離関数とするとき、$ \Omega_\varepsilon = \{ x : \rho(x) > \varepsilon \} $ で与えられる一連の $ C^\infty $ 領域（微分同相型）を生成する。
• 位相的次数論を用いて、$ m=2 $ または $ \chi(\Omega) \neq 0 $ のとき、$ \partial\Omega $ 上の連続的な擬法線場（良い方向）の像が $ \mathbb{S}^{m-1} $ 全体に全射であることを証明する。
• 流れと良い方向の構造を用いて、$ \partial\Omega $ が任意の点で局所的にリプシッツ的でない場合、良い方向場の像は $ \mathbb{S}^{m-1} $ の小さな部分集合に含まれることになり、全射性と矛盾することを示す。
• コンパクト性と有限被覆の議論を用いて、近似境界の極限点として、3本の線形独立な良い方向が存在する点を抽出し、その点で境界が局所的にリプシッツ的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ C^0 $ 領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^m $ は、内部および外部から $ \Omega $ と微分同相である $ C^\infty $ 領域に近似可能か？
• RQ2 $ \partial\Omega $ 上の連続的な擬法線場が $ \mathbb{S}^{m-1} $ に全射であるための位相的条件は何か？
• RQ3 グローバルなリプシッツ性や $ C^1 $ 正則性を仮定しない場合に、$ \partial\Omega $ の部分的正則性（例：局所的リプシッツ正則性）を示すことは可能か？
• RQ4 オイラー特徴標数は、良い方向の存在や擬法線場の全射性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 滑らかな近似の構成を、$ C^0 $ 領域と $ C^1 $-微分同相である領域へと拡張可能か？ その際、位相的および微分的構造を保存するか？

主な発見

• 任意の有界な $ C^0 $ 領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^m $ に対して、$ \partial\Omega $ の近傍で定義された標準的な滑らかな良い方向の場が存在し、滑らかな近似領域の構成を可能にする。
• $ \varepsilon > 0 $ が十分小さいとき、近似領域 $ \Omega_\varepsilon = \{ x : \rho(x) > \varepsilon \} $ は $ C^\infty $ であり、$ \Omega $ と微分同相であり、$ \bar{\Omega}_\varepsilon $ は $ \bar{\Omega} $ と位相同相である。この近似は位相的型を保存する。
• $ m=2 $ または $ m=3 $、あるいは $ \chi(\Omega) \neq 0 $ のとき、$ \partial\Omega $ は、グローバルにリプシッツ的でない場合でも、ある点 $ P \in \partial\Omega $ で局所的にリプシッツ的である。
• $ m=2 $ または $ \chi(\Omega) \neq 0 $ のとき、$ \partial\Omega $ 上の連続的な擬法線場は $ \mathbb{S}^{m-1} $ に全射であるが、一般にはそうではない（例：$ \mathbb{R}^3 $ 内の実心トーラスでは、像は大円の近傍にのみ含まれる可能性がある）。
• 近似境界の極限点で3本の線形独立な良い方向が存在することは、その点で $ \partial\Omega $ が局所的にリプシッツ的であることを示唆する。
• 結果は、$ C^0 $ 領域と $ C^1 $-微分同相である領域へと拡張可能であり、部分的正則性の結果は、より一般の境界付き多様体（例：極座標における非微分可能関数で定義される領域）では成り立たない。