[論文レビュー] On the reconstruction of conductivity of bordered two-dimensional surface in R^3 from electrical currents measurements on its boundary

Gennadi M. Henkin, Roman Novikov|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、R³ に埋め込まれた境界付き2次元多様体 X 上の等方的導電率 σ を、電流の境界測定値とディリクレ・ツー・ノイマン写像を用いて構成的に再構成する手法を提示する。∂-法とリーマン面における複素解析を活用することで、元来 R² で有効であった逆導電率再構成スキームを、C³ への正則埋め込みを介して R³ 内の多様体へと拡張し、σ に小刻みの仮定を課さずに正確な再構成を達成する。

ABSTRACT

An electrical potential U on bordered surface X (in Euclidien three-dimensional space) with isotropic conductivity function sigma>0 satisfies equation d(sigma d^cU)=0, where d^c is real operator associated with complex (conforme) structure on X induced by Euclidien metric of three-dimensional space. This paper gives exact reconstruction of conductivity function sigma on X from Dirichlet-to-Neumann mapping (for aforementioned conductivity equation) on the boundary of X. This paper extends to the case of the Riemann surfaces the reconstruction schemes of R.Novikov (1988) and of A.Bukhgeim (2008) given for the case of domains in two-dimensional Euclidien space. The paper extends and corrects the statements of Henkin-Michel (2008), where the inverse boundary value problem on the Riemann surfaces was firstly considered.

研究の動機と目的

• R² 内の平面領域における逆導電率再構成手法を、R³ に埋め込まれた一般の境界付き多様体へと拡張すること。
• 境界電気的電流測定値のみを用いて、多様体 X ⊂ R³ 上の導電率 σ の厳密な再構成手順を確立すること。
• 従来の逆導電率再構成スキームの適用範囲を制限していた σ に対する小刻みの仮定を排除すること。
• 平面領域から R³ 内の非自明な幾何構造を有する多様体へと ∂-法およびファドデエフ・グリーン関数アプローチを一般化すること。
• R³ 内のコンパクトな境界付きリーマン面における方程式 d(σ dᶜU)|X = 0 の逆境界値問題に対する完全な解を提供すること。

提案手法

• X 上のユークリッド計量が誘導する複素構造を用いて、dᶜ = i(∂̄ − ∂) を定義し、等角幾何の道具を可能にする。
• 変数変換 ψ = √σ U を用いることで、導電率方程式 d(σ dᶜU)|X = 0 を ddᶜψ = qψ に還元し、q = ddᶜ√σ / √σ とする。
• ベルトラミ方程式 ∂̄φ = μ∂φ の解を用いて、X → C³ の正則埋め込み φ を構成し、V を C³ 内の滑らかな代数的曲線へ写像する。
• Jost 型解 ψ(z,λ) を、|z| → ∞ における所望の漸近挙動を満たすように ∂-法を用いて構成することで逆問題を解く。
• ディリクレ・ツー・ノイマン写像を用いて ψ の境界データを回復し、ファドデエフ・グリーン関数を含む積分方程式を用いて散乱データを再構成する。
• 停留位相法と指数多項式推定式（Ehrenpreis–Berenstein–Dostal）を用いて、スペクトルデータから導電率を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 X ⊂ R³ における逆導電率問題は、C³ 内のリーマン面における解ける逆問題に還元可能か？
• RQ2 σ に小刻みの仮定を課さずに、ディリクレ・ツー・ノイマン写像から X 上の σ を再構成することは可能か？
• RQ3 平面領域から R³ 内の非自明な曲率を有する多様体へと ∂-法をどのように拡張できるか？
• RQ4 X を C³ に正則埋め込むことが、σ の再構成を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 境界電流測定値から導かれるスペクトルデータが、X 上の導電率関数 σ を一意に特定可能か？

主な発見

• 境界付き多様体 X ⊂ R³ 上の導電率 σ は、ディリクレ・ツー・ノイマン写像 U|∂X → σ dᶜU|∂X から正確に再構成可能である。
• 再構成は σ に小刻みの仮定を一切課さずに達成され、従来の制限を要する結果を拡張する。
• 本手法は、ベルトラミ方程式の解による X の C³ への埋め込みに依存し、滑らかな代数的曲線 V を得ることで複素解析的道具の使用を可能にする。
• 関連する ∂-方程式の解 ψ(z,λ) は、ファドデエフ・グリーン関数を含む積分方程式によって構成され、すべての λ ∈ C \ E に対して存在および一意性が保証される。
• 散乱行列の行列式 Δθ(λ) が指数多項式であることが示され、Ehrenpreis の不等式による成長性の性質が再構成の一意性と安定性を保証する。
• 最終的な再構成公式は、振動積分の漸近解析と停留位相法を用いて導出され、境界データから σ の正確な回復が得られる。