[論文レビュー] On the Reidemeister spectrum and the $R_{\infty}$ property for some free nilpotent groups

E. G. Kukina, В. А. Романьков|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランク $r$ とクラス $c$ の自由冪単群 $N_{rc}$ について、低ランク・低クラスの場合（$c=1$、$r\in\mathbb{N}$；$c=2$、$r=2,3$；$c=3$、$r=2$）におけるリーデマイスター スペクトルを特定し、すべての自由冪単群 $N_{2c}$（$c\geq 4$）が $R_\infty$ 性質を満たすことを証明している—つまり、すべての自己同型が無限個のねじれ共役類を持つ。この結果は、ランク 2 でクラス $t\geq 2$ のすべての自由可解群 $S_{2t}$、特に自由メタア贝尔群 $M_2$ および十分に大きなクラスを持つ高ランクの自由可解群へと拡張される。

ABSTRACT

We describe the Reidemeister spectrum $Spec_RG$ for $G = N_{rc},$ the free nilpotent group of rank $r$ and class $c,$ in the cases: $r \in {\mathbb N}$ and $c = 1;$ $r = 2, 3$ and $c = 2;$ $ r = 2$ and $c = 3,$ and prove that any group $N_{2c}$ for $c \geq 4$ satisfies to the $R_{\infty}$ property. As a consequence we obtain that every free solvable group $S_{2t}$ of rank 2 and class $t \geq 2$ (in particular the free metabelian group $M_2 = S_{22}$ of rank 2) satisfies to the $R_{\infty}$ property. Moreover, we prove that any free solvable group $S_{rt}$ of rank $r \geq 2$ and class $t$ big enough also satisfies to the $R_{\infty}$ property.

研究の動機と目的

• 自由冪単群 $N_{rc}$ のリーデマイスター スペクトル $\mathrm{Spec}_R(G)$ を、低ランク・低クラスの場合に特定すること。
• すべての自由冪単群 $N_{2c}$（$c\geq 4$）が $R_\infty$ 性質を満たすことを確立すること。ランク 2 の分類を完了させる。
• 自由可解群 $S_{rt}$（ランク $r\geq 2$ で十分に大きなクラス $t$）に対し、$R_\infty$ 性質を拡張すること。自由メタアベル群 $M_2$ を含む。
• 冪単剰余群の構造とアーベル化への自己同型誘導作用を用いた、自由可解群における $R_\infty$ 性質の純代数的証明を提供すること。

提案手法

• アーベル化 $A = G/G'$ に対して、$[A : L(A,\varphi)]$ のインデックスを計算することにより、リーデマイスター スペクトルを分析する。ここで $L(A,\varphi) = \mathrm{Im}(\varphi - \mathrm{id})$ である。
• 群 $N_{rc}$ の上部中心系列 $\zeta_i N$ を用い、連続する商群 $A_i = \zeta_{i+1}N / \zeta_i N$ における自己同型誘導作用を帰納的に分析する。
• もし $\mathrm{Fix}_{\varphi_i}(N_i) = 1$ かつ $\det(\bar{\varphi}_0 - E) = 0$ ならば、$R(\varphi) = \infty$ であるという基準を適用する。
• $\zeta_1 N$（下部中心系列の第 3 項）における誘導自己同型 $\bar{\varphi}_0$ の行列を、重み 4 の基本交換子を用いて計算する。
• 直接的な行列計算により、$\zeta_1 N$ 上の $3\times 3$ 行列 $B$ に対して $\det(B - E) = 0$ を示し、これによりリーデマイスター数が無限大であることを示す。
• 商写像 $S_{rt} \to N_{rt}/\gamma_{k+1}S_{rt}$ を用いて、自由可解群へ応用する。もし冪単剰余群で $R(\varphi) = \infty$ ならば、可解群に対しても同様に成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク $r$ とクラス $c$ の自由冪単群 $N_{rc}$ について、$c=1$、$r=2,3$ および $c=2$、$r=2$ および $c=3$ の場合に、リーデマイスター スペクトル $\mathrm{Spec}_R(N_{rc})$ は何か？
• RQ2 すべての自由冪単群 $N_{2c}$（$c \geq 4$）は $R_\infty$ 性質を満たすか？
• RQ3 すべてのランク 2 でクラス $t \geq 2$ の自由可解群 $S_{2t}$ は $R_\infty$ 性質を満たすか？
• RQ4 自由可解群 $S_{rt}$ が $R_\infty$ 性質を満たすのは、$r$ と $t$ がどのような値のときか？

主な発見

• ランク $r$ の自由アーベル群 $N_{r1}$ のリーデマイスター スペクトルは、$r \geq 2$ のとき $\mathrm{Spec}_R(N_{r1}) = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$、$r=1$ のとき $\{2\} \cup \{\infty\}$ である。
• $N_{22}$ のスペクトルは $\mathrm{Spec}_R(N_{22}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$ である。
• $N_{32}$ のスペクトルは $\mathrm{Spec}_R(N_{32}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$ である。
• $N_{23}$ のスペクトルは $\mathrm{Spec}_R(N_{23}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$ である。
• すべての自由冪単群 $N_{2c}$（$c \geq 4$）は、$\zeta_1 N$ 上の誘導自己同型に対して $\det(B - E) = 0$ を示すことにより、$R_\infty$ 性質を満たす。
• すべてのランク 2 でクラス $t \geq 2$ の自由可解群 $S_{2t}$ は $R_\infty$ 性質を満たす。自由メタアベル群 $M_2 = S_{22}$ を含み、$S_{2t} \to N_{24}$ の上への写像により、剰余群で $R_\infty$ が成り立つことから生じる。