[論文レビュー] The geometry of twisted conjugacy classes in wreath products

Jennifer Taback, Peter Wong|arXiv (Cornell University)|May 9, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限群 $G$ が自明な外部自己同型群を持つとき、$G\wr\mathbb{Z}$ が任意の自己同型の下で無限個のねじれ共役類を持つという性質 $R_\infty$ を幾何的証明により示している。これは、$n \geq 5$ の対称群 $S_n$ や多くの有限単純群を含む。証明は、ケイリー図の幾何構造と、Eskin, Fisher, Whyteによるラムプレッター群の最近の準等長分類に依拠しており、以前の代数的結果をより広いクラスの有限群へと拡張する。

ABSTRACT

We give a geometric proof based on recent work of Eskin, Fisher and Whyte that the lamplighter group $L_n$ has infinitely many twisted conjugacy classes for any automorphism $\vp$ only when $n$ is divisible by 2 or 3, originally proved by Gonçalves and Wong. We determine when the wreath product $G \wr \Z$ has this same property for several classes of finite groups $G$, including symmetric groups and some nilpotent groups.

研究の動機と目的

• 準等長理論を用いて、 wreath 群 $G\wr\mathbb{Z}$ のねじれ共役類の幾何的特徴づけを確立すること。
• 既知の結果 $\mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$ が $R_\infty$ をもつのは $2\mid n$ または $3\mid n$ のときに限る、という事実を、より広いクラスの有限群へと拡張すること。
• 幾何的および代数的技法を用いて、自己同型 $\varphi$ に対して $G\wr\mathbb{Z}$ が無限個の $\varphi$-ねじれ共役類を持つ条件を同定すること。
• 任意の有限群 $G$ が、$S_n\in\mathfrak{L}$ for $n\geq 5$ であるという事実を用いて、$H\wr\mathbb{Z}$ に $R_\infty$ 性質をもつ群として埋め込めるということを示すこと。

提案手法

• Eskin, Fisher, Whyteによる、$L_n = \mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$ のケイリー図の準等長分類を、特にその幾何的構造に活用する。
• 準等長分類を応用して、自己同型が wreath 群構造に及ぼす作用と、その基底群 $\bigoplus G_i$ に誘導される作用を分析する。
• 自己同型の下での $\bigoplus G_i$ のブロック分解を用い、$G$ が自明な外部自己同型群を持つとき、自己同型が特定の直積成分を保存することを示す。
• 各ブロック上で自己同型が非自明な固定点を持つことを利用して、ねじれ共役類の数が無限大であることを証明する。
• 特に $\bigoplus A_n$ が $\bigoplus S_n$ において特徴的であることを示す群論的結果を用い、$A_n$ から $S_n$ への結果の拡張を行う。
• 幾何的知見と、リードマイスター数や自己同型による共役類の不変性といった代数的道具を統合し、$S_n\wr\mathbb{Z}$ における $R_\infty$ の成立を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群 $G$ に対して、 wreath 群 $G\wr\mathbb{Z}$ が、任意の自己同型 $\varphi$ の下で無限個の $\varphi$-ねじれ共役類を持つ性質 $R_\infty$ をもつのか。
• RQ2 代数的結果 $\mathbb{Z}_n\wr\mathbb{Z}$ が $R_\infty$ をもつのは $2\mid n$ または $3\mid n$ のときに限る、という事実を、準等長理論を用いて幾何的に再証明できるか。
• RQ3 $S_n\wr\mathbb{Z}$ に対して $R_\infty$ 性質が成り立つか、成り立つならばその理由は何か。
• RQ4 任意の有限群 $G$ を、$R_\infty$ 性質をもつ $H\wr\mathbb{Z}$ の形の群に埋め込むことは可能か。
• RQ5 $G$ の外部自己同型群の構造は、$G\wr\mathbb{Z}$ におけるねじれ共役類の有限性にどのように影響するか。

主な発見

• 有限単純群で外部自己同型群が自明な群 $G$ に対して、$G\wr\mathbb{Z}$ は $R_\infty$ 性質をもつ。これには $M_{11}, M_{23}, M_{24}, C_1, C_2, C_3, J_1, J_4, B, M, Fi_{23}$ などを含む。
• $n \geq 5$ かつ $n \neq 6$ のとき、交代群 $A_n$ は $A_n\wr\mathbb{Z} \in \mathfrak{L}$ を満たす。これは外部自己同型の下で固定点が存在するためである。
• $n \geq 5$ のとき、対称群 $S_n$ は $\mathfrak{L}$ に属するため、$S_n\wr\mathbb{Z}$ は $R_\infty$ 性質をもつ。これは $\bigoplus A_n$ が $\bigoplus S_n$ において特徴的であり、$R_\infty$ 性質を引き継ぐからである。
• $\mathbb{Z}_2\wr\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}_3\wr\mathbb{Z}$ に対しても結果が拡張され、$L_2$ と $L_3$ が $R_\infty$ をもつことが確認された。これは以前の代数的証明と整合的である。
• 任意の有限群 $G$ は、十分大きな $n$ に対して $S_n$ がすべての有限群を含むことと、$S_n\wr\mathbb{Z}$ が $R_\infty$ をもつことから、$H\wr\mathbb{Z}$ に $R_\infty$ 性質をもつ群として埋め込める。
• 性質 $R_\infty$ は準等長性の下で保存されない。$\mathbb{Z}_4\wr\mathbb{Z}$ は $(\mathbb{Z}_2)^2\wr\mathbb{Z}$ と準等長であるが、$R_\infty$ をもつのは前者のみである。