[論文レビュー] On the relations between correlation functions in SYM/pp-wave correspondence

É. T. Akhmedov|ArXiv.org|Dec 25, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、$S^3 \times \mathbb{R}$ 上の平面的 ${\cal N}=4$ SYM 理論における相関関数と、pp波背景における型IIB超弦理論の散乱振幅との間の明示的対応関係を確立する。2点および3点関数について明示的な関係を導出し、一致する時空依存性と構造定数を特定し、超弦理論が行列量子力学ではなく4次元 SYM と双対であると主張し、両理論におけるパラメータの辞書を提供する。

ABSTRACT

In this note we establish the explicit relation between correlation functions in ${\cal N} = 4$ SUSY Yang--Mills theory on $S^3 imes R$ in a double scaling limit and scattering amplitudes of the String Theory on the pp-wave background. The relation is found for two-- and three--point correlation functions in these theories. As a by product we formulate a dictionary for the correspondence between these theories: in particular, we find some unknown relations between the parameters in these theories. Furthermore, we argue that the String Theory on the pp--wave background is related to four--dimensional SUSY Yang--Mills theory rather than to the reduced matrix quantum mechanics. We identify string theory excitations which are related to the Kaluza--Klein excitation of the Yang--Mills theory on $S^3$.

研究の動機と目的

• ${\cal N}=4$ SYM を $S^3 \times \mathbb{R}$ 上で、および pp波背景における超弦理論の散乱振幅との間の明確で明示的な関係を確立すること。
• pp波対応が4次元 SYM とそれより簡略化された行列量子力学の間の双対性であるかどうかの曖昧さを解消すること。
• 両理論におけるパラメータ、特に結合定数とコンフォーマル次元の間の未知の関係を含む、辞書を導出すること。
• SUSY 保護のないオペレーターに対しても、3点関数における解析的構造と時間依存性の一致を示すことにより、対応関係が超対称性保護のオペレーターを超えて成り立つことを示すこと。

提案手法

• 2次元および3次元の相関関数を、$S^3 \times \mathbb{R}$ 上の平面的 ${\cal N}=4$ SYM において、二重スケーリング極限で導出し、R荷が大きなオペレーターに注目する。
• SYM における時序化された相関関数と、pp波背景における超弦理論の振幅を比較し、特にフーリエ変換を用いて時空依存性を分析する。
• BMN極限を用いて、SYM オペレーターを超弦状態に写像し、$S^3$ 上のカルラッツァ＝クラインモードを、pp波背景における超弦励起状態に一致させる。
• SYM におけるオペレーター積展開の構造定数 $C_{J_1 J_2 J_3}$ を、超弦理論におけるそれと一致させ、運動量空間におけるデルタ関数の形で一致を示す。
• 時序化された相関関数を分析し、それらの指数的時間依存性が、超弦理論振幅の構造と一致することを示し、位相が $\mu \tilde{\Delta}_i t_i$ に比例することを示す。
• フーリエ変換の後、3点関数が $\delta_{J_1,J_2+J_3} \delta_{\Delta_1,\Delta_2+\Delta_3} C_{J_1 J_2 J_3} \delta(p_1 - \tilde{\Delta}_1) \delta(p_2 - \tilde{\Delta}_2) \delta(p_3 - \tilde{\Delta}_3)$ の形を取り、超弦理論の結果と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的 ${\cal N}=4$ SYM における相関関数が、$S^3 \times \mathbb{R}$ 上で、pp波背景における超弦理論の散乱振幅とどのように関係しているか？
• RQ2 pp波対応は4次元 SYM とそれより簡略化された行列量子力学との双対性であるか？
• RQ3 両理論におけるパラメータ（結合定数、R荷、コンフォーマル次元など）の正確な辞書は何か？
• RQ4 SUSY 保護のないオペレーターに対しても、特に3点関数において、対応関係を確立できるか？
• RQ5 両理論における時序構造と運動量保存はどのように一致するか？

主な発見

• フーリエ変換後のSYMの3点相関関数は、超弦理論振幅の構造と一致する：$\delta_{J_1,J_2+J_3} \delta_{\Delta_1,\Delta_2+\Delta_3} C_{J_1 J_2 J_3} \delta(p_1 - \tilde{\Delta}_1) \delta(p_2 - \tilde{\Delta}_2) \delta(p_3 - \tilde{\Delta}_3)$。
• SYMの相関関数の時間依存性は $e^{-i\mu \tilde{\Delta}_1 t_1} e^{i\mu \tilde{\Delta}_2 t_2} e^{i\mu \tilde{\Delta}_3 t_3}$ であり、超弦理論振幅の位相構造と一致する。
• SYMにおける構造定数 $C_{J_1 J_2 J_3}$ は、[19] の結果と比較することで、超弦理論におけるそれと一致し、3点関数において完全な一致が確認される。
• カルラッツァ＝クラインモードが超弦励起状態と一致することに基づき、pp波超弦理論が行列量子力学ではなく4次元 ${\cal N}=4$ SYM と双対であることが示された。
• SUSY 保護のないオペレーターに対しても、相関関数の解析的構造が超弦理論振幅と一致するため、対応関係が超対称性保護のオペレーターを超えて成り立つ。
• パラメータの辞書が確立され、特に $\tilde{\Delta} = \Delta - J$ の関係が得られ、ここで $\tilde{\Delta}$ は超弦理論におけるコンフォーマル次元、$\Delta$ はSYMにおけるものである。