[論文レビュー] On the relevance of avoided crossings away from quantum critical point to the complexity of quantum adiabatic algorithm

Sergey Knysh, Vadim Smelyanskiy|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、ランダムなNP完全問題における量子アディアバティックアルゴリズムで、横磁場がゼロに近い場所での avoided crossings（回避クロスイング）が指数的に小さなギャップを引き起こすという主張に反論する。ゼロ磁場における基底状態の指数的 degeneracy を考慮に入れた修正された摂動論を用いて、著者らは、このような avoided crossings には大きな横磁場（$O(1)$）が必要であり、摂動論が破綻する領域に属することを示した。その結果、提案された失敗メカニズムは不確実である。分析の結果、最小ギャップは $N$ に対して指数的にスケーリングしない可能性があるが、最終的な複雑性は未解決のままである。

ABSTRACT

Two recent preprints [B. Altshuler, H. Krovi, and J. Roland, "Quantum adiabatic optimization fails for random instances of NP-complete problems", arXiv:0908.2782 and "Anderson localization casts clouds over adiabatic quantum optimization", arXiv:0912.0746] argue that random 4th order perturbative corrections to the energies of local minima of random instances of NP-complete problem lead to avoided crossings that cause the failure of quantum adiabatic algorithm (due to exponentially small gap) close to the end, for very small transverse field that scales as an inverse power of instance size N. The theoretical portion of this work does not to take into account the exponential degeneracy of the ground and excited states at zero field. A corrected analysis shows that unlike those in the middle of the spectrum, avoided crossings at the edge would require high [O(1)] transverse fields, at which point the perturbation theory may become divergent due to quantum phase transition. This effect manifests itself only in large instances [exp(0.02 N) >> 1], which might be the reason it had not been observed in the authors' numerical work. While we dispute the proposed mechanism of failure of quantum adiabatic algorithm, we cannot draw any conclusions on its ultimate complexity.

研究の動機と目的

• ランダムなNP完全問題における量子アディアバティック最適化で、横磁場がゼロに近い場所での avoided crossings が指数的に小さなギャップを引き起こすという主張に反論すること。
• ゼロ磁場における基底状態と励起状態の指数的 degeneracy を考慮に入れた、先行研究の摂動解析の修正。
• スペクトル端縁における avoided crossings が現実的な条件下で指数的に小さなギャップを引き起こす可能性があるかどうかを評価すること。
• ランダムな組み合わせ最適化問題におけるエネルギー分裂とギャップスケーリングの推定において、摂動論の役割を明確にすること。
• 量子アディアバティックモデルにおけるアルゴリズム的失敗のメカニズムの妥当性を評価すること。

提案手法

• ゼロ磁場における指数的 degeneracy を補正した、局在状態間のエネルギー分裂を、縮退摂動論と非縮退摂動論を用いて再分析。
• 特定の節点構成では、標準的摂動論の $O(\lambda^4)$ ではなく、縮退摂動論からの $O(\lambda^3)$ の補正項が生じることを同定。
• スペクトル端縁における avoided crossings には、摂動論が有効でない領域である $O(1)$ の横磁場が必要であることを示した。
• 数値結果を用いて補正項のスケーリングをテストし、先行仮定とは対照的に、$N$ に対して対数的に増加する可能性があることを示した。
• ハイパーグラフ構造とトリミングの degeneracy への影響を検討し、多数のモデルで指数的 degeneracy が持続することを示した。
• 有限な $\lambda < \lambda_c$ に対して、真の小さなギャップの確率を評価するには非摂動的手法が必要になる可能性があると主張した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル端縁における avoided crossings は、ランダムなNP完全問題の量子アディアバティックアルゴリズムで指数的に小さなギャップを引き起こすか？
• RQ2 先行研究における摂動解析は、横磁場がゼロのときの状態の指数的 degeneracy を正しく考慮しているか？
• RQ3 スペクトル端縁における avoided crossings を引き起こすために必要な横磁場の強度はどの程度か？ そして、これは摂動論の破綻を引き起こすか？
• RQ4 縮退した基底状態が存在する状況下で、摂動補正は系のサイズ $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ5 大きな $\lambda$ における摂動論の破綻を考慮すると、$\lambda \to 0$ 付近での小さなギャップによる失敗メカニズムは物理的に現実的か？

主な発見

• Ref. Alt09 における摂動解析は、ゼロ磁場における基底状態および励起状態の指数的 degeneracy を考慮に入れておらず、avoided crossings に関する誤った結論に至っている。
• スペクトル端縁における avoided crossings には、摂動論が信頼できない領域である $O(1)$ の横磁場が必要であり、これは量子相転移に起因する。
• 縮退摂動論からのエネルギー分裂は $O(\lambda^3)$ であり、標準的摂動論の $O(\lambda^4)$ にとどまらない。このような補正項は、ハイパーグラフのトリミングによっても容易には除去できない。
• 数値結果から、補正項は $N$ に対してゆっくりと増加する可能性があり、先行研究の仮定とは対照的に、べき乗則スケーリングではなく対数的増加である可能性がある。
• 修正された解析に基づくと、量子アディアバティックアルゴリズムにおける最小ギャップは $N$ に対して指数的にスケーリングしない。ただし、最終的な複雑性は未解決のままである。
• 有限な $\lambda < \lambda_c$ に対して、指数的に小さなギャップの真の確率を評価するには非摂動的手法が必要になる可能性がある。