[論文レビュー] On the remarkable relations among PDEs integrable by the inverse spectral transform method, by the method of characteristics and by the Hopf-Cole transformation

A. I. Zenchuk, P. M. Santini|ArXiv.org|Jan 25, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、逆スペクトル変換で解けるPDE（S-可積分）、特徴線法（Ch-可積分）、ホフプ＝コール変換（C-可積分）の3つのクラスの間の深い関係を確立する。行列バーゲルス階層（C-可積分）にブロックフロベニウス行列還元と体系的な消去手続きを適用することで、KP方程式やデイビー＝スチュアートソン方程式といった(2+1)次元S-可積分系が生成され、それらのラクス対、対称性、解が低次元のC-およびCh-可積分系の種から生じることが明らかになった。

ABSTRACT

We establish deep and remarkable connections among partial differential equations (PDEs) integrable by different methods: the inverse spectral transform method, the method of characteristics and the Hopf-Cole transformation. More concretely, 1) we show that the integrability properties (Lax pair, infinitely-many commuting symmetries, large classes of analytic solutions) of (2+1)-dimensional PDEs integrable by the Inverse Scattering Transform method ($S$-integrable) can be generated by the integrability properties of the (1+1)-dimensional matrix Bürgers hierarchy, integrable by the matrix Hopf-Cole transformation ($C$-integrable). 2) We show that the integrability properties i) of $S$-integrable PDEs in (1+1)-dimensions, ii) of the multidimensional generalizations of the $GL(M,\CC)$ self-dual Yang Mills equations, and iii) of the multidimensional Calogero equations can be generated by the integrability properties of a recently introduced multidimensional matrix equation solvable by the method of characteristics. To establish the above links, we consider a block Frobenius matrix reduction of the relevant matrix fields, leading to integrable chains of matrix equations for the blocks of such a Frobenius matrix, followed by a systematic elimination procedure of some of these blocks. The construction of large classes of solutions of the soliton equations from solutions of the matrix Bürgers hierarchy turns out to be intimately related to the construction of solutions in Sato theory. 3) We finally show that suitable generalizations of the block Frobenius matrix reduction of the matrix Bürgers hierarchy generates PDEs exhibiting integrability properties in common with both $S$- and $C$- integrable equations.

研究の動機と目的

• 逆スペクトル変換（S-可積分）、特徴線法（Ch-可積分）、ホフプ＝コール変換（C-可積分）で解けるPDEの間の根本的な構造的および可積分性の関係を解明すること。
• 行列バーゲルス階層（C-可積分）を用いた行列還元技術を通じて、(2+1)次元S-可積分系の可積分性の性質（ラクス対、可換な対称性、解析的解など）が生じることを示すこと。
• GL(M,C)自己双対ヤン＝ミルズ方程式やカラジョ・方程式を含む多次元S-可積分系が、特徴線法で解ける新しい多次元行列方程式から導出可能であることを示すこと。
• 一般化されたブロックフロベニウス還元を用いて、S-およびC-可積分系の両方の可積分性特徴を併せ持つ新しいPDEを構成すること。
• S-可積分系の解空間と、特にKPの場合にSato理論によって生成される解空間との関係を明確にすること。

提案手法

• 1次元行列バーゲルス階層の行列場にブロックフロベニウス行列還元を適用し、可積分な行列方程式の鎖を形成するブロックに分解する。
• フロベニウス行列のブロックに対して体系的な消去手続きを実行し、KP方程式やデイビー＝スチュアートソン方程式のような(2+1)次元進化的PDEを導出する。
• 導出されたS-可積分系のラクス対固有関数を用いて、その漸近展開の係数を再構成し、それらが行列バーゲルス階層からの可積分な鎖の要素と一致することを確認する。
• 行列バーゲルス階層およびその還元の手続きを用いて、得られた(2+1)次元系のラクス対と解空間を構築する。
• フロベニウス還元を高次元設定に一般化し、特徴線法に基づく新しいS-可積分系（多次元カラジョ方程式や自己双対ヤン＝ミルズ方程式など）を導出する。
• 制約式(255)および(256)が主な進化的方程式(251)–(252)と整合することを確認することで、導出系の整合性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S-可積分PDEの(2+1)次元系の可積分性の性質（ラクス対、無限個の可換対称性など）が、C-可積分行列バーゲルス階層からブロックフロベニウス還元と行列ブロックの消去によって生成可能か。
• RQ2 S-可積分系の解空間と、Sato理論によって生成される解空間の関係は何か。特にKPの場合にどうか。
• RQ3 多次元S-可積分系（GL(M,C)自己双対ヤン＝ミルズ方程式やカラジョ方程式など）が、行列還元を介して1つのCh-可積分行列方程式から導出可能か。
• RQ4 PDEがS-およびC-可積分系の両方の可積分性特徴を併せ持つための条件は何か。
• RQ5 群論的道具を用いて、高次元における新しい可積分系を生成するための、フロベニウス還元を体系的に一般化する方法はあるか。

主な発見

• (2+1)次元S-可積分PDEの可積分性の性質（ラクス対、無限個の可換対称性など）は、ブロックフロベニウス還元と行列ブロックの消去を介して行列バーゲルス階層から生成される。
• S-可積分系の解析的解の構成は、Sato理論による解生成と深く関連しており、KPの場合には両者の解空間が一致することが示された。
• (2+1)次元N波方程式、KP方程式、デイビー＝スチュアートソン方程式は、行列バーゲルス階層の還元として現れ、それらのラクス対および解構造はC-可積分系の種から導出される。
• 特徴線法で解ける新しい多次元行列方程式が、GL(M,C)自己双対ヤン＝ミルズ方程式や多次元カラジョ方程式などの可積分系を生成し、導出されたラクス対によりそれらのS-可積分性が確認された。
• 一般化されたブロックフロベニウス還元により、S-およびC-可積分系の両方の可積分性特徴を併せ持つPDEが得られ、特に特定の消去条件の下で(251)–(252)系がS-可積分N波方程式またはC-可積分N波型方程式に還元されることを示した。
• KP方程式やDS方程式を含む導出された(2+1)次元系は、線形作用素の整合性と、行列バーゲルス階層の固有関数から構築された解空間を持つことが示された。