[論文レビュー] On the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非負のリッチ曲率またはCD(0,m)-条件を満たすリーマン多様体上における非線形拡散方程式に対して、Rényiエントロピー量の凹性を確立し、SavareとToscaniのユークリッド空間における結果を拡張する。特徴的なモデルとして、アインシュタイン多様体または準アインシュタイン多様体、およびヘッセソリトンリーマン多様体上のリッチフローが等号を達成する剛性定理を証明し、エントロピー量、フィッシャー情報量、W-エントロピーの関係を示すNIW公式を導出する。これにより、このような多様体上での新しい等周不等式およびガリャルディ・ニレングラート・ソボレフ不等式が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we prove the concavity of the Renyi entropy power for nonlinear diffusion equation (NLDE) associated with the Laplacian and the Witten Laplacian on compact Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0,m)$-condition and on compact manifolds equipped with time dependent metrics and potentials. Our results can be regarded as natural extensions of a result due to Savaré and Toscani \cite{ST} on the concavity of the Renyi entropy for NLDE on Euclidean spaces. Moreover, we prove that the rigidity models for the Renyi entropy power are the Einstein or quasi-Einstein manifolds and a special $(K,m)$-Ricci flow with Hessian solitons. Inspired by Lu-Ni-Vazquez-Villani \cite{LNVV}, we prove the Aronson-Benilan estimates for NLDE on compact Riemannian manifolds with $CD(0,m)$-condition. We also prove the NIW formula which indicates an intrinsic relationship between the second order derivative of the Renyi entropy power $N_p$, the $p$-th Fisher information $I_p$ and the time derivative of the $W$-entropy associated with NLDE. Finally, we prove the entropy isoperimetric inequality for the Renyi entropy power and the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality on complete Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature or $CD(0, m)$-condition and maximal volume growth condition.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から、非負のリッチ曲率またはCD(0,m)-条件を満たすコンパクトなリーマン多様体へのRényiエントロピー量の凹性の拡張。
• エントロピー量の不等式で等号を達成する剛性モデル、すなわちアインシュタイン多様体または準アインシュタイン多様体、およびヘッセソリトン(K,m)-リッチフローを同定すること。
• 非線形拡散方程式に対して、Rényiエントロピー量の2階微分、p次フィッシャー情報量、W-エントロピーの時間微分の間の内在的関係を明らかにするNIW公式の導出。
• 非負リッチ曲率および最大体積成長を満たす完全なリーマン多様体上でのエントロピー等周不等式およびガリャルディ・ニレングラート・ソボレフ不等式の確立。
• コンパクト多様体にCD(0,m)-条件を満たすWittenラプラシアンの設定において、Aronson-Benilan推定およびW-エントロピー公式の一般化。

提案手法

• エントロピー散逸公式を用いて、曲率次元条件(CD(0,m))およびリッチ曲率の下界を用いてRényiエントロピー量の凹性を証明する。
• Γ₂計算およびBakry-Émery理論を適用し、Rényiエントロピー量の2階微分推定を導出する。
• Rényiエントロピー量の2階微分とp次フィッシャー情報量、W-エントロピーの時間微分との関係を示すことで、NIW公式を確立する。
• WittenラプラシアンのW-エントロピー公式を用いて、非線形拡散方程式に対するAronson-Benilan型推定を導出する。
• 最大体積成長および曲率条件を用いて、エントロピー等周不等式およびガリャルディ・ニレングラート・ソボレフ不等式を証明する。
• Rényiエントロピー、フィッシャー情報量、W-エントロピーの関係を活用し、多様体上での鋭い関数不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体がどのような幾何的条件下に、非線形拡散方程式の解に沿ってRényiエントロピー量が凹性を示すか。
• RQ2 エントロピー量の凹性不等式で等号を達成する剛性モデル（幾何的構造）は何か。
• RQ3 Rényiエントロピー量の2階微分は、p次フィッシャー情報量およびW-エントロピーの時間微分とどのように関係しているか。
• RQ4 非負リッチ曲率および最大体積成長を満たす完全なリーマン多様体上でも、エントロピー等周不等式およびガリャルディ・ニレングラート・ソボレフ不等式を拡張できるか。
• RQ5 CD(0,m)-条件を満たす多様体上の非線形拡散方程式に対して、Aronson-Benilan推定の類似形は何か。

主な発見

• 非負リッチ曲率またはCD(0,m)-条件を満たすコンパクトなリーマン多様体上における非線形拡散方程式に対して、Rényiエントロピー量は時間に関して凹性を示す。
• エントロピー量の凹性不等式で等号を達成する剛性モデルは、アインシュタイン多様体、準アインシュタイン多様体、またはヘッセソリトンを伴う(K,m)-リッチフローである。
• NIW公式は、Rényiエントロピー量の2階微分、p次フィッシャー情報量、W-エントロピーの時間微分の間の明確な関係を確立する。
• エントロピー等周不等式が成り立つ：$ N_p(f) I_p(f) \to \text{const} $、定数は次元およびソボレフ定数に依存する。
• 非負リッチ曲率および最大体積成長の下で、すべての $ f \to C_0^\frown(M) $ に対してガリャルディ・ニレングラート・ソボレフ不等式が証明される。
• CD(0,m)-条件を満たすコンパクト多様体上におけるWittenラプラシアンに対して、Aronson-Benilan推定が確立され、ユークリッド空間の結果が拡張される。