[論文レビュー] On the Representation Theorem of G-Expectations and Paths of G--Brownian Motion

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|Apr 29, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複雑な確率的制御手法を避けて、基本的な確率論とHahn-Banach定理のみを用いて、G期待値の表現定理の簡素化された、初等的な証明を提供する。連続パス空間上の有界連続関数がリプシッツシリンダ関数のG期待値完備化に属することを確立し、Gブラウン運動および確率積分の基礎的結果を得る。

ABSTRACT

We give a very simple and elementary proof of the existence of a weakly compact family of probability measures $\{P_θ:θ\in Θ\}$ to represent an important sublinear expectation--G-expectation $\mathbb{E}[\cdot]$. We also give a concrete approximation of a bounded continuous function $X(ω)$ by an increasing sequence of cylinder functions $L_{ip}(Ω)$ in order to prove that $C_{b}(Ω)$ belongs to the $\mathbb{E}[|\cdot|]$-completion of the $L_{ip}(Ω)$.

研究の動機と目的

• 高度な確率的制御理論に依存せずに、G期待値の表現定理の直接的かつ初等的な証明を提供すること。
• 高度な確率的道具を用いずに、基本的な確率的ツールのみを用いてG期待値を表す弱いコンパクト性を持つ確率測度族を構成すること。
• 連続パス空間上の任意の有界連続関数が、リプシッツシリンダ関数の空間のG期待値完備化に属することを証明すること。
• モデル不確実性下での確率積分の発展に不可欠な基礎的完備性結果を確立すること。

提案手法

• Hahn-Banach定理を用いて、劣線形期待値を線形期待値族の上界として表現する。
• 初等的な近似技術を用いて、G期待値を表す弱いコンパクト性を持つ確率測度族 {P_θ : θ ∈ Θ} を構成する。
• 任意の連続パス空間上の有界連続関数 X(ω) を近似する、明示的な増加列のリプシッツシリンダ関数 L_ip(Ω) を導入する。
• 時間グリッドにおける区分的線形補間を用いて、近似関数 ω^(n)(ω) を定義し、コンパクト集合上で一様収束を保証する。
• G期待値ノルムを用いて近似誤差を制御し、Xのコンパクト性と連続性を活用する。
• 近似誤差の上限と測度論的推定値を組み合わせ、G期待値 L^1ノルムにおける収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高度な確率的制御理論を用いずに、G期待値の表現を証明できるか？
• RQ2 初等的確率的ツールのみを用いて、G期待値を表す弱いコンパクト性を持つ確率測度族を直接構成できるか？
• RQ3 連続パス空間上の任意の有界連続関数が、リプシッツシリンダ関数によりG期待値 L^1ノルムで近似可能か？
• RQ4 有界連続関数の空間と、L_ip(Ω) のG期待値完備化との関係は何か？
• RQ5 Gブラウン運動フレームワークは、最小限の解析的仮定にどのように基づくことができるか？

主な発見

• 本稿は、Hahn-Banach定理と基本的確率論のみを用いて、G期待値の表現定理の新しい初等的証明を提供する。
• G期待値を表す弱いコンパクト性を持つ確率測度族 {P_θ : θ ∈ Θ} が明示的に構成され、G期待値がこれらの測度下の期待値の上界として表現される。
• 連続パス空間上の任意の有界連続関数 X(ω) が、リプシッツシリンダ関数の空間 L_ip(Ω) のG期待値 L^1-完備化に属することが示された。
• 時間離散化による区分的線形補間を用いて、X(ω) の増加列のリプシッツシリンダ関数への明示的近似構成がなされた。
• この結果により、L_G^1(Ω) = L_c^1 およびすべての p > 0 に対して L_G^p(Ω) = L_c^p が成り立つことが示され、G期待値下での空間の完備性が確立された。
• フレームワークは最小限の仮定に依拠しており、Gブラウン運動および関連する確率積分の直接的基礎づけが可能となった。