[論文レビュー] On the second order Poincaré inequality and CLT on Wiener-Poisson space

Juan Víquez|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ウィーナー・ポアソン空間における2階型ポincare不等式と Wasserstein 距離の上界を確立し、Lévy過程の関数に対する定量的中心極限定理（CLTs）を可能にする。手法は Malliavin 微積分と Stein の方法の組み合わせであり、ガウス部分従属場の線形関数に対する収束速度 $ O(T^{-1/4}) $ を得る。

ABSTRACT

An upper bound for the Wasserstein distance is provided in the general framework of the Wiener-Poisson space. Is obtained from this bound a second order Poincaré-type inequality which is useful in terms of computations. For completeness sake, is made a survey of these results on the Wiener space, the Poisson space, and the Wiener-Poisson space, and showed several applications to central limit theorems with relevant examples: linear functionals of Gaussian subordinated field (where the subordinated field can be processes like fractional Brownian motion or the solution of the Ornstein-Uhlenbeck SDE driven by fractional Brownian motion), Poisson functionals in the first Poisson chaos restricted to \small" jumps (particularly fractional Lévy processes) and the product of two Ornstein-Uhlenbeck processes (one in the Wiener space and the other in the Poisson space). Also, are obtained bounds for their rate of convergence to normality.

研究の動機と目的

• ウィーナー空間およびポアソン空間から、混合ウィーナー・ポアソン空間への2階型ポincare不等式および Wasserstein 距離の上界を拡張すること。
• 混合設定において直交多項式分解や Mehler 半群の同値性が欠如していることに対処すること。
• Lévy過程の関数に対する定量的 CLTs を提供すること、特に分数Lévy過程やオーナイズ・ウーレンブルク過程の積を含む。
• 混合空間フレームワーク内での Malliavin-Stein 技法を用いて、正規分布への収束の明示的レートを導出すること。

提案手法

• Malliavin 微積分と Stein の方法を用いて、ウィーナー・ポアソン空間における Wasserstein 距離の新たな上界を導出する。
• 上界を、$ d_W(F,N) \leq \mathbb{E}\left|1 - \langle \mathbf{D}F, -\mathbf{D}L^{-1}F \rangle_{L^2_\mu} \right| + \mathbb{E}\left[ \left\langle |x(\mathbf{D}F)^2|, |\mathbf{D}L^{-1}F| \right\rangle_{L^2_\mu} \right] $ の形で適用し、混合ウィーナー・ポアソン設定に適合させる。
• 乱雑分解と、$ \text{Dom } \mathbf{D}^W $ および $ \text{Dom } \mathbf{D}^J $ を用いたウィーナーおよびポアソン方向の別個の Malliavin 微分を用いる。
• 特定の関数に対して上界を適用する：ガウス部分従属場の線形関数、小ジャンプを伴う1次乱雑関数、およびオーナイズ・ウーレンブルク過程の積。
• 2階 Malliavin 微分の収縮技術とノルム推定を用いて、収束条件の検証を行う。
• 定量的境界を用いて、$ \mathbb{E}\| \mathbf{D}^2 F_T \otimes_1 \mathbf{D}^2 F_T \|_{L^2_\mu}^2 $ および関連項の収束レートを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交多項式分解が存在しないにもかかわらず、ウィーナー・ポアソン空間において2階型ポincare不等式を確立できるか？
• RQ2 ガウス部分従属場の線形関数の収束速度は、ウィーナー・ポアソン設定においてどの程度か？
• RQ3 Malliavin-Stein 界は、分数Lévy過程のようなジャンプを伴う過程へどのように拡張できるか？
• RQ4 ウィーナーおよびポアソンノイズで駆動されるオーナイズ・ウーレンブルク過程の積に対しても Wasserstein 距離の上界を適用可能か？
• RQ5 小ジャンプを伴う1次ウィーナー・ポアソン乱雑関数の定量的収束レートは何か？

主な発見

• ウィーナー・ポアソン空間における Wasserstein 距離の上界が導出され、純粋なウィーナー空間およびポアソン空間の結果を一般化する。
• 上界はウィーナーおよびポアソン方向の微分を併用し、2番目の項が $ \langle |x(\mathbf{D}F)^2|, |\mathbf{D}L^{-1}F| \rangle_{L^2_\mu} $ を通じてジャンプ寄与を捉える。
• 関数 $ F_T = I_2\bigl(T^{-1/2} \int_{\cdot \vee \cdot}^T h_t^{(0)} \widetilde{\otimes} h_t^{(1)} dt\bigr) $ に対して、$ T \to \infty $ のとき分散は $ \frac{1}{\lambda} \in (0,\infty) $ に収束する。
• 2階微分ノルム $ \mathbb{E}\| \mathbf{D}^2 F_T \otimes_1 \mathbf{D}^2 F_T \|_{L^2_\mu}^2 \to 0 $ が $ T \to \infty $ のとき成り立ち、収束条件が確認される。
• 正規分布への収束速度は $ d_W\bigl( \frac{F_T}{\sqrt{\text{Var}[F_T]}}, N \bigr) = O(T^{-1/4}) $ と推定され、分数設定における類似関数と整合的である。
• 分数ブラウン運動や $ H \in (0, \frac{1}{2}) $ の分数オーナイズ・ウーレンブルク過程の線形関数の収束速度と同等であり、著者は $ O(T^{-1/2}) $ が最適である可能性を示唆している。