[論文レビュー] On the self-adjointness of H+A*+A

Andrea Posilicano|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自己随伴的 $ H $ の特異摂動 $ A $ を伴う形式的ハミルトニアン $ H + A^* + A $ の自己随伴実現を構成するための、新規の2段階的 Kreïn 保留式アプローチを確立する。明示的な保留差分公式を導出し、正規化されたモデルに反物質補正項を加えた系のノルム保留収束としてネルソンモデルのハミルトニアンが得られることを証明する。これにより、量子場理論における特異摂動理論と正規化の両者を統合する。

ABSTRACT

Let $H:D(H)\subseteq{\mathscr F} o{\mathscr F}$ be self-adjoint and let $A:D(H) o{\mathscr F}$ (playing the role of the annihilator operator) be $H$-bounded. Assuming some additional hypotheses on $A$ (so that the creation operator $A^{*}$ is a singular perturbation of $H$), by a twofold application of a resolvent Krein-type formula, we build self-adjoint realizations $\hat H$ of the formal Hamiltonian $H+A^{*}+A$ with $D(H)\cap D(\hat H)=\{0\}$. We give an explicit characterization of $D(\hat H)$ and provide a formula for the resolvent difference $(-\hat H+z)^{-1}-(-H+z)^{-1}$. Moreover, we consider the problem of the description of $\hat H$ as a (norm resolvent) limit of sequences of the kind $H+A^{*}_{n}+A_{n}+E_{n}$, where the $A_{n}\!$'s are regularized operators approximating $A$ and the $E_{n}$'s are suitable renormalizing bounded operators. These results show the connection between the construction of singular perturbations of self-adjoint operators by Krein's resolvent formula and nonperturbative theory of renormalizable models in Quantum Field Theory; in particular, as an explicit example, we consider the Nelson model.

研究の動機と目的

• 形式的ハミルトニアン $ H + A^* + A $（$ A $ は自己随伴的 $ H $ の特異摂動）の自己随伴実現を、2回の Kreïn の保留式の適用によって得ること。
• 保留差分 $ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} $ の明示的公式を導出し、スペクトル解析および散乱解析を可能にする。
• ネルソンモデルのハミルトニアン $ H_{\rm Nelson} $ が、正則化されたモデル $ H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ のノルム保留極限として得られることを示すこと。ここで $ A_n $ は正則化された消滅演算子、$ E_n $ は正規化補正項である。
• 近似ハミルトニアンの Weyl 関数における演算子 $ A H^{-1}_{\rm free} A^* $ がバランス項として果たす役割を明らかにし、正規化プロセスにおける $ E_n $ の必要性を説明すること。
• 特異摂動理論（Kreïnの公式による）と、量子場理論における非摂動的正規化枠組み（特にネルソンモデルに対して）を統合すること。

提案手法

• ハミルトニアン $ H + A^* + A $ の自己随伴実現 $ \widehat{H} $ を構成するため、Kreïn の保留式を2度適用する。$ A^* $ を $ H $ の特異摂動とみなす。
• Weyl 関数と拡張パrameter を含む一般化された保留公式を用い、最終的な保留作用素を $ (-H+z)^{-1} $、$ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $、およびブロック行列の逆行列で表す。
• 初期状態として、$ H_{\rm free} $ を特異摂動した中間的ハミルトニアン $ \widehat{H}_0 $ を定義し、その後 $ H_{\rm Nelson} $ を $ \widehat{H}_0 $ の特異摂動として構成することで、Kreïn の公式の二重適用を可能にする。
• 紫外カットオフを導入した正則化作用素 $ A_n $ を構成し、$ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ を定義する。ここで $ E_n $ は、基底状態エネルギー展開から得られる正規化補正項である。
• Weyl 関数と拡張パrameter $ T_n \to T_{\rm Nelson} $ の収束を示すことにより、$ H_n $ が $ H_{\rm Nelson} $ にノルム保留収束することを証明する。
• 恒等式 $ A_{{T_{\rm Nelson}}}G_z = T_{\rm Nelson} - A(G - G_z) $（$ G_z = (-H_{\rm free} + z)^{-1} $）を用い、最終的な保留作用素を自由保留作用素と極限拡張パrameter で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネルソンモデルのハミルトニアンは、Kreïn の保留式を用いて自己随伴的演算子の特異摂動として構成可能であり、これにより明示的な保留差分公式が得られるか？
• RQ2 正則化されたハミルトニアン $ H_n $ の Weyl 関数は、極限 $ H_{\rm Nelson} $ のそれとどのように異なるか？また、項 $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ はどのような役割を果たすか？
• RQ3 近似式 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ において、正規化補正項 $ E_n $ がなぜ必要か？また、$ T_n $ が $ T_{\rm Nelson} $ に収束するプロセスとどのように関係するか？
• RQ4 $ \{ \Psi \in \mathfrak{F} : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $ で与えられるネルソンハミルトニアンの自己随伴定義域は、特異摂動フレームワークと整合的か？
• RQ5 ネルソンモデルのハミルトニアンは、正則化されたモデルのノルム保留極限として実現可能か？収束を保証する条件は何か？

主な発見

• 自己随伴実現 $ \widehat{H} $ は、2回の Kreïn 保留式の適用によって構成され、$ \text{dom}(\widehat{H}) \cap \text{dom}(H) = \{0\} $ を満たす。
• 保留差分の明示的公式が導出される：$ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} = -[G_z \quad R_z] \begin{bmatrix} A_{T_{\rm Nelson}} G_z & G_{\bar{z}}^* - 1 \\ G_z - 1 & R_z \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} G_{\bar{z}}^* \\ R_z \end{bmatrix} $、ここで $ R_z = (-H+z)^{-1} $、$ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $。
• ネルソンハミルトニアンの定義域は、$ s > 3/4 $ に対して $ \text{dom}(H_{\rm Nelson}) = \{ \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}^{1-s}) : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $ と特徴づけられる。
• 列 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ は、$ A_n $ を正則化された消滅演算子、$ E_n $ を正規化補正項として、ノルム保留収束により $ H_{\rm Nelson} $ に収束する。
• $ T_n = E_n - A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ が作用素ノルムで $ T_{\rm Nelson} $ に収束することが確立され、Kreïn フレームワークにおける極限の有効性が保証される。
• 差分 $ (A H^{-1}_{\rm free})^* - A(-H_{\rm free} + \bar{z})^{-1} $ から生じる項 $ -A(G - G_z) $ は、$ H_{\rm Nelson} $ の Weyl 関数における正則化項として機能し、近似列における $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ の必要性を説明する。