[論文レビュー] On the signed graphs with two distinct eigenvalues

Farzaneh Ramezani|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Graph theory and applications参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ハダマード行列とコンファレンス行列を用いて、正確に2つの固有値をもつ正則二部符号付きグラフの無限族を構成し、正則ラマヌジャングラフの明示的構成に至る。主な貢献は、直交符号付き行列と2-リフトを用いたラマヌジャングラフの生成法であり、スペクトル性質が補集合および符号変換のもとで保存されることを示している。

ABSTRACT

We consider signed graphs, i.e, graphs with positive or negative signs on their edges. We construct some families of bipartite signed graphs with only two distinct eigenvalues. This leads to constructing infinite families of regular bipartite Ramanujan graphs.

研究の動機と目的

• 組合せデザインを用いて、正確に2つの固有値をもつ符号付きグラフを構成すること。
• 直交符号付き行列とラマヌジャングラフとの間の関係を確立すること。
• 2-リフトとスペクトル性質を用いて、正則ラマヌジャングラフの明示的構成を提供すること。
• 完全グラフを超えて、二部グラフおよび正則構造への2固有値符号付きグラフ理論の拡張を図ること。

提案手法

• 対称的直交符号付き行列 $ C $ を用い、$ CC^t = \alpha I $ を満たすようにして、符号付きグラフの隣接行列を定義する。
• ブロック行列形 $ C^* = \begin{pmatrix} O & C \\ C^t & O \end{pmatrix} $ を $ * $-演算によって構成し、二部グラフをモデル化する。
• 符号を用いた2-リフトを適用して、元のグラフと符号付き隣接スペクトルの和集合をとる新しいグラフを生成する。
• スペクトル補集合を用いる：$ G $ が $ k $-正則ラマヌジャングラフで $ k \leq n/2 $ ならば、その二部補集合 $ G_b^c $ もラマヌジャンである。
• コンファレンス行列 $ Co_n $ とハダマール行列 $ H_n $ の性質を活用して、2つの固有値をもつ良好な符号を構成する。
• 文献[8]の結果を応用し、2-リフト $ \tilde{G}_s $ のスペクトルが $ A(G) $ と $ A^s $ のスペクトルの和集合であることを用い、ラマヌジャン性の伝播を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確に2つの固有値をもつ符号付きグラフから、無限族の正則ラマヌジャングラフを構成できるか？
• RQ2 直交符号付き行列にどのような条件を課すと、それに対応するグラフがラマヌジャンとなるか？
• RQ3 2-リフトとスペクトル補集合は、符号付き二部グラフにおけるラマヌジャン性をどのように保存するか？
• RQ4 コンファレンス行列とハダマール行列は、2固有値符号付きグラフの良好な符号を構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 二部グラフの文脈において、グラフ補集合を通じてラマヌジャン性が継承可能か？

主な発見

• 本稿は、正確に2つの固有値をもつ符号付きグラフを用いて、無限族の正則ラマヌジャングラフを構成している。
• サイズ $ n $ の対称的直交符号付き行列 $ C $ で $ CC^t = \alpha I $ を満たすものについて、$ \alpha \geq 2 $ かつ $ \frac{1}{4}(k-1)^2 + k + 2 \leq n $ が成り立つ（ここで $ k = n - 1 - \alpha $）ならば、グラウンドグラフ $ G $ はラマヌジャングラフである。
• $ k \geq 2 $ に対して $ kC_4 $ の二部補集合は、固有値 $ \pm(2k-2), (\pm 2)^{k-1}, 0^{2k} $ をもつラマヌジャングラフである。
• 符号付き行列 $ C $ が直交的であり、$ C^* $ のグラウンドグラフがラマヌジャンならば、$ C^* $ は良好な符号である。すなわち、ラマヌジャン2-リフトを生成する。
• ラマヌジャングラフ $ G $ に良好な符号 $ s $ を用いた2-リフトにより得られるグラフ $ \tilde{G}_s $ もラマヌジャンであり、スペクトル境界 $ \lambda_2 \leq 2\sqrt{d-1} $ が保存される。
• 明示的構成が提供されている：$ K_{n,n} $ に符号 $ H_n^* $ を適用すると、固有値 $ \pm n, \pm\sqrt{n}^n, 0^{2n-2} $ をもち、$ K_{n,n} \setminus M $ に $ Co_n^* $ を適用すると、固有値 $ \pm(n-1), \pm\sqrt{n-1}^n, \pm 1^{n-1} $ をもつ。