[論文レビュー] Interlacing Families I: Bipartite Ramanujan Graphs of All Degrees

Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Graph theory and applications参考文献 34被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、2より大きい任意の次数について、無限個の二部グラフRamanujanグラフの族が存在することを示すために多項式の入れ違い法を導入する。期待される特徴多項式の根の分析と、特別な多項式族の入れ違い性質を活用することで、最適なスぺクトル拡張を示すようなグラフが存在することを確立する。不規則な「双正則」バージョンを含め、理論的限界に一致する固有値の境界を持つ。

ABSTRACT

We prove that there exist infinite families of regular bipartite Ramanujan graphs of every degree bigger than 2. We do this by proving a variant of a conjecture of Bilu and Linial about the existence of good 2-lifts of every graph. We also establish the existence of infinite families of `irregular Ramanujan' graphs, whose eigenvalues are bounded by the spectral radius of their universal cover. Such families were conjectured to exist by Linial and others. In particular, we prove the existence of infinite families of (c,d)-biregular bipartite graphs with all non-trivial eigenvalues bounded by sqrt{c-1}+sqrt{d-1}, for all c, d \geq 3. Our proof exploits a new technique for demonstrating the existence of useful combinatorial objects that we call the "method of interlacing polynomials'".

研究の動機と目的

• すべての d > 2 に対して、d-正則な二部グラフRamanujanグラフの無限族が存在することを解決すること。
• すべてのグラフに対して良い2-リフトが存在することを示すBilu-Linial予想の変種を証明すること。
• 非自明固有値がその普遍被覆のスペクトル半径によって境界づけられる、不規則な「Ramanujan」グラフの無限族の存在を確立すること。
• 入れ違い多項式の方法を、スぺクトル制約を満たす組合せ的対象の存在を示す新しい存在証明法として開発・適用すること。

提案手法

• 多項式の「入れ違い族」という概念を導入し、その族が根が制御された方法で入れ違いになるように定義する。
• 任意の入れ違い族において、少なくとも1つの多項式の最大根が、多項式の和の最大根によって上から抑えられることを証明する。
• これは、ランダムに符号が付与された隣接行列の期待特徴多項式に適用され、安定性の性質によってそれが実根を持つことを示す。
• 符号付き隣接行列の特徴多項式の和が、元のグラフのマッチング多項式に等しいことを示し、これは既知の根の有界性を持つ。
• 入れ違い性質を用いて、すべての非自明固有値がRamanujan境界内にある符号付けが少なくとも1つ存在することを結論づける。
• エッジの符号と次数調整から得られるランク1行列を含む混合特徴多項式を構築することで、双正則グラフへのこの手法の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての d > 2 に対して、d-正則な二部グラフRamanujanグラフの無限族が存在するか？
• RQ2 BiluとLinialが予想したように、すべてのグラフが2-リフトされ、すべての非自明固有値が O(√d log³d) で有界になるようにできるか？
• RQ3 非自明固有値がその普遍被覆のスペクトル半径によって境界づけられる、不規則なRamanujanグラフの無限族が存在するか？
• RQ4 入れ違い多項式の方法を用いて、最適なスぺクトル性質を持つ組合せ的対象の存在を証明できるか？
• RQ5 個々の多項式が実根を持たない場合でも、ランダムな符号付けやリフトから得られる実根を持つ多項式の存在を保証する一般枠組みは存在するか？

主な発見

• 著者らは、すべての d > 2 に対して、d-正則な二部グラフRamanujanグラフの無限族が存在することを証明し、Lubotzkyの予想を解決した。
• すべての c,d ≥ 3 に対して、すべての非自明固有値が √(c−1) + √(d−1) で有界な (c,d)-双正則な二部グラフの無限族が存在することを確立した。
• 入れ違い多項式の方法が、グラフの辺に符号を付けることで得られる2-リフトがすべての非自明固有値をRamanujan境界内に保つような符号付けの存在を示すのに有効であることが示された。
• グラフの隣接行列のランダムな符号化における期待特徴多項式は実根を持ち、その最大根はマッチング多項式の最大根によって上から抑えられる。
• 証明技法は一般に #P-困難であるマッチング多項式の計算を必要とするため、多項式時間アルゴリズムを導くものではない。
• この手法は、シリーズの第2報におけるKadison–Singer問題の解決の基盤をなしている。