[論文レビュー] On the simply connectedness of non-negatively curved Kähler manifolds and applications

Albert Chau, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Jun 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非負の正則バイセクショナル曲率と一様にピンチされた正のリッチ曲率をもつ完全非コンパクトなケーラー多様体が、単連結であり、ℂⁿ内の擬凸領域にホロモルフィックに同型であることを確立する。長期間のケーラー・リッチフロー解と勾配ソリトン極限の解析を用いて、注釈半径の一様性とファイバー束構造を証明し、均一化結果を一般化するとともに、このような多様体のホロモルフィック構造に関するヤウの予想を支持する。

ABSTRACT

We study complete noncompact long time solutions $(M, g(t))$ to the Kähler-Ricci flow with uniformly bounded nonnegative holomorphic bisectional curvature. We will show that when the Ricci curvature is positive and uniformly pinched, i.e. $ R_\ijb \ge cRg_\ijb$ at $(p,t)$ for all $t$ for some $c>0$, then there always exists a local gradient Kähler Ricci soliton limit around $p$ after possibly rescaling $g(t)$ along some sequence $t_i o \infty$. We will show as an immediate corollary that the injectivity radius of $g(t)$ along $t_i$ is uniformly bounded from below along $t_i$, and thus $M$ must in fact be simply connected. Additional results concerning the uniformization of $M$ and fixed points of the holomorphic isometry group will also be established. We will then consider removing the condition of positive Ricci for $(M, g(t))$. Combining our results with Cao's splitting for Kähler Ricci flow \cite{Cao04} and techniques of Ni-Tam \cite{NiTam03}, we show that when the positive eigenvalues of the Ricci curvature are uniformly pinched at some point $p \in M$, then $M$ has a special holomorphic fiber bundle structure. We will treat a special cases, complete Kähler manifolds with non-negative holomorphic bisectional and average quadratic curvature decay as well as the case of steady gradient Kähler Ricci solitons.

研究の動機と目的

• 非負の正則バイセクショナル曲率と一様にピンチされたリッチ曲率をもつ完全非コンパクトケーラー多様体の位相的・幾何学的構造を特定すること。
• 長期間のケーラー・リッチフロー解と勾配ソリトン極限を分析することで、このような多様体が単連結であることを確立すること。
• 曲率の減衰またはソリトン条件の下で、多様体がℂⁿまたは擬凸領域にホロモルフィックに同型であることを示すことにより、均一化結果を一般化すること。
• 正のリッチ固有値が一様にピンチされている場合に、多様体のホロモルフィックおよびリーマン的ファイバー束構造を調べること。
• 曲率およびフロー条件の下で、ホロモルフィック等距変換群の不動点性質を調査すること。

提案手法

• 非負の正則バイセクショナル曲率が一様に有界な完全非コンパクトケーラー多様体上で、長期間のケーラー・リッチフロー解(g(t))を分析する。
• ユニバーサル被覆にCaoの分解定理を適用し、ℂᵏ × Ñ として分解し、Ñ 上のh(t)が正のリッチ曲率を持つことを示す。
• tᵢ → ∞ における局所的勾配ケーラー・リッチソリトン極限を抽出するためのスケーリングを用い、注釈半径が下から有界であることを証明する。
• Ni-TamおよびCaoの技術を適用し、正のリッチ固有値の一様ピンチングが、ℂᵏ/Γ 上のホロモルフィックおよびリーマン的ファイバー束構造を示すことを証明する。
• Poincaré座標とべき級数展開を用いて、ファイバーのホロモルフィック等距変換を分析し、非共鳴条件の下で上三角行列多項式であることを証明する。
• 拡張型勾配ソリトンにおける体積成長の推定を用い、Vₒ(r) ≥ Crⁿ (r ≥ 1) を示し、曲率の減衰および構造的結果を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完全非コンパクトケーラー多様体が、どのような条件下で単連結になるか？
• RQ2 ケーラー・リッチフローを用いて、非コンパクトケーラー多様体のトポロジー的・幾何学的構造を明らかにするソリトン極限を抽出できるか？
• RQ3 正のリッチ固有値が一点で一様にピンチされた場合、どのようなファイバー束構造が生じるか？
• RQ4 このような多様体の有限または完全なホロモルフィック等距変換群は、曲率およびフロー条件の下で不動点を持つか？
• RQ5 拡張型勾配ソリトンにおける体積成長は、曲率の減衰および均一化とどのように関係するか？

主な発見

• リッチ曲率が一点pで一様にピンチされている場合、tᵢ → ∞ 沿いのg(t)の注釈半径は下から一様に有界であり、Mが単連結であることを示唆する。
• リッチ曲率が一様にピンチされており、スカラー曲率が平均的に二次的に減衰する場合、Mはℂⁿにホロモルフィックに同型である。
• 正のリッチ固有値のみが一様にピンチされている場合、Mはℂᵏ/Γ 上のホロモルフィックおよびリーマン的ファイバー束であり、ファイバーはℂⁿ⁻ᵏまたはℂⁿ⁻ᵏ内の擬凸領域である。
• 最大スカラー曲率が一点で達成され、非負の正則バイセクショナル曲率が有界なステディ型勾配ケーラー・リッチソリトンでは、非共鳴条件の下でMはℂᵏ/Λ₁ 上のホロモルフィックベクトル束である。
• 拡張型勾配ソリトンにおける測地球の体積は、r ≥ 1 に対して Vₒ(r) ≥ Crⁿ を満たし、最大体積成長を示している。
• リッチ曲率が一様にピンチされており、曲率が有界な長期間のケーラー・リッチフロー解が存在する場合、(M,g)の任意の有限ホロモルフィック等距変換群は不動点を持つ。