[論文レビュー] On the simulation of quantum circuits

Richard Jozsa|ArXiv.org|Mar 19, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 49

ひとこと要約

本稿では、量子回路の『ゲートクロッシング深さ』D（各キュービット線を通過する2キュービットゲートの最大数）が有界である場合、その古典的シミュレーションが時間 n·poly(2^D) で可能であることを、簡潔で直接的な証明により提示する。手法は行列積状態（MPS）とテンソルネットワークの縮約を用い、D = O(log n) の場合にシミュレーションが効率的であることを示す。この結果は、従来の制限付き回路に限らない、一般の多項式サイズ・多項式深さの量子回路（任意の2キュービットゲート範囲を有する）への拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider recent works on the simulation of quantum circuits using the formalism of matrix product states and the formalism of contracting tensor networks. We provide simplified direct proofs of many of these results, extending an explicit class of efficiently simulable circuits (log depth circuits with 2-qubit gates of limited range) to the following: let C be any poly sized quantum circuit (generally of poly depth too) on n qubits comprising 1- and 2- qubit gates and 1-qubit measurements (with 2-qubit gates acting on arbitrary pairs of qubit lines). For each qubit line j let D_j be the number of 2-qubit gates that touch or cross the line j i.e. the number of 2-qubit gates that are applied to qubits i,k with i \leq j \leq k. Let D=max_j D_j. Then the quantum process can be classically simulated in time n poly(2^D). Thus if D=O(log n) then C may be efficiently classically simulated.

研究の動機と目的

• 行列積状態（MPS）とテンソルネットワークの縮約を用いて、量子回路の古典的可視化に関する既存のトーリックネットワークや木幅アプローチとは異なり、より簡潔で直接的な証明を提供すること。
• ゲート範囲の制限や対数的深さといった従来の制限を超えて、効率的にシミュレート可能な量子回路のクラスを拡張すること。
• 任意の多項式サイズの量子回路が、ゲートクロッシング深さ D が有界である場合、時間 n·poly(2^D) で古典的にシミュレート可能であり、D = O(log n) の場合に効率的であることを示すこと。
• 同様の D 条件のもとで、適応的測定を含む回路に対しても、その古典的シミュレーションが効率的に可能であることを示すこと。

提案手法

• 連続する単一キュービットゲートを統合し、同じキュービット線に連続する2キュービットゲートを統合することで、量子回路の簡略化形を定義する。
• 各キュービット線 i に対して、ゲートクロッシング深さ D_i を定義し、これは j ≤ i ≤ k を満たす2キュービットゲート（qubit j,k に作用）の数である。D = max_i D_i と定める。
• 行列積状態（MPS）形式を用いて量子状態を表現し、各テンソルがゲートまたはキュービット線に対応し、インデックスの縮約が時間発展を模倣する。
• 各キュービット線に対して順次インデックスを和算することでテンソルネットワークを縮約し、任意の1ラインに影響するゲート数が限られているため、1ラインあたりの計算コストは 2^{O(D)} で抑えられる。
• 測定確率の計算のため、回路に反射的随伴コピーを追加し、プロジェクタを挿入する。その後、すべてのインデックスを縮約するが、各ラインに影響するゲート数が O(D) に保たれるようにする。
• 適応的測定の処理は、1回の測定ずつシミュレートし、プロジェクタと条件付きゲート選択を回路に更新する。すべての処理が同じ時間計算量の範囲内に収まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のトーリックネットワークや木幅アプローチとは異なり、より簡潔で直接的な方法で、量子回路の古典的可視化を証明できるか？
• RQ2 制限付きゲート範囲や対数的深さを超えて、効率的古典的シミュレーションを可能にする回路構造の正確な条件は何か？
• RQ3 任意の2キュービットゲート相互作用を含む回路に対しても、効率的シミュレーションを維持できるように、効率的にシミュレート可能な回路のクラスを拡張できるか？
• RQ4 各キュービット線ごとに定義されるゲートクロッシング深さ D は、一般の量子回路の古典的可視化を完全に特徴づけるか？
• RQ5 同じ D に基づく計算複雑度の上限のもとで、適応的測定も効率的に古典的にシミュレート可能か？

主な発見

• nキュービットで多項式サイズの任意の量子回路が、2キュービットゲートを任意の範囲に持つ場合、ゲートクロッシング深さ D が最大で1つのキュービット線を通過する2キュービットゲート数であると、時間 n·poly(2^D) で古典的にシミュレート可能である。
• D = O(log n) の場合、シミュレーション時間は n に対して多項式的になるため、古典コンピュータ上で効率的にシミュレート可能である。
• D が有界であれば、適応的測定を含む回路に対してもこの結果が成り立つ。
• 標準基底測定および部分集合の量子ビットに対する共同測定に対しても、D = O(log n) の場合にシミュレーション時間は多項式的のままである。
• 木分解やグラフ理論的形式化に依存する従来の手法とは異なり、証明は著しく簡潔で直接的である。
• このフレームワークは、固定次元 d のクーディットに対しても一般化可能であるが、本稿では明確化のため、qubit（d=2）に焦点を当てる。