[論文レビュー] On the space of almost complex structures

Н. А. Даурцева, N. K. Smolentsev|ArXiv.org|Feb 15, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかで向き付けられた2n次元多様体上のほぼ複素構造の無限次元多様体を研究し、それが自然な弱い擬リーマン構造とほぼ複素構造を備え、それらが組み合わさってケーラー多様体をなすことを示している。カイリー変換を用いたパrameter化により、正の関連するほぼ複素構造の部分多様体と直交するほぼ複素構造の部分多様体が、完全測地的かつケーラー的であることを証明しており、シンプレクティック幾何学における関連計量と複素構造に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

The space ${\mathcal A}$ of almost complex structures on a closed manifold $M$ is studied. A natural parametrization of the space ${\mathcal A}$ is defined. It is shown, that ${\mathcal A}$ is a infinite dimensional complex weak Pseudo-Riemannian manifold. A curvature of the space ${\mathcal A}$ is found. The space ${\mathcal A}_ω$ of associated almost complex structures on a symplectic manifold $M,ω$ and space ${\mathcal AO}$ of orthogonal almost complex structures on a Riemannian manifold $M,g_0$ are considered in more detail.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付けられた2n次元多様体上のすべての滑らかなほぼ複素構造の空間の微分幾何的構造を調査すること。
• シンプレクティック幾何学における関連計量とほぼ複素構造の空間に関する先行結果を、すべてのほぼ複素構造の空間へと拡張すること。
• 正の関連するほぼ複素構造および直交するほぼ複素構造の部分多様体の幾何的性質を分析すること。
• これらの部分多様体が、すべてのほぼ複素構造の空間からのケーラー構造を引き継ぐことを確立すること。

提案手法

• 反対称自己準同型の空間へのカイリー変換を用いたほぼ複素構造のパrameter化：$ J = J_0(1+K)(1-K)^{-1} $ により、自己準同型からほぼ複素構造へ写像する。
• 固定されたリーマン体積形式に関して、自己準同型の合成のトレースの積分を用いて、ほぼ複素構造の空間に弱い擬リーマン計量を定義する。
• 接ベクトル $ A \in T_J\mathcal{A} $ に対して $ \mathbf{J}_J(A) = A \circ J $ を設定することで、空間 $ \mathcal{A} $ 上にほぼ複素構造 $ \mathbf{J}_J $ を導入する。
• 非退化かつ反対称な2次形式 $ \Omega $ を $ \Omega_J(A,B) = \int_M \mathrm{tr}(AJB) \, d\mu(g_0) $ により構成し、計量およびほぼ複素構造と整合することを示す。
• 局所座標を、写像 $ \Phi: \mathcal{U}(J_0) \to \mathcal{V}(J_0) $ により定義し、$ K = (1 - JJ_0)^{-1}(1 + JJ_0) $ で与えられ、幾何的構造を局所形式で表現する。
• 各点 $ J $ における接空間が $ \mathrm{End}_J(TM) $、すなわち $ J $ と反交換する自己準同型の空間と同型であることを証明し、座標写像の微分を計算することで、異なるチャートにおける接ベクトルを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで閉じた向き付けられた多様体上のすべてのほぼ複素構造の空間は、自然な幾何的構造のもとでケーラー多様体となるか？
• RQ2 正の関連するほぼ複素構造の部分多様体と直交するほぼ複素構造の部分多様体は、すべてのほぼ複素構造の空間へどのように埋め込まれるか？
• RQ3 すべてのほぼ複素構造の空間における幾何的構造（計量、ほぼ複素構造、シンプレクティック形式）は、部分多様体へ制限されてもケーラー性質を保つのか？
• RQ4 カイリー変換は、ほぼ複素構造の空間をパrameter化し、局所計算を可能にする役割を果たすのか？

主な発見

• 閉じた向き付けられた2n次元多様体上のすべての滑らかなほぼ複素構造の空間 $ \mathcal{A} $ は無限次元のILH多様体であり、計量 $ (A,B)_J = \int_M \mathrm{tr}(A \circ B) \, d\mu(g_0) $ により弱い擬リーマン計量を備える。
• 空間 $ \mathcal{A} $ は、$ \mathbf{J}_J(A) = A \circ J $ により定義されるほぼ複素構造 $ \mathbf{J}_J $ と、非退化かつ反対称な2形式 $ \Omega $ を持ち、$ \mathcal{A} $ はケーラー多様体である。
• 正の関連するほぼ複素構造の部分多様体 $ \mathcal{A}_\omega $ は $ \mathcal{A} $ において完全測地的であり、$ \mathcal{A} $ からのケーラー構造を引き継ぐ。
• 直交するほぼ複素構造の部分多様体 $ \mathcal{AO}(M) $ も $ \mathcal{A} $ において完全測地的であり、負定値の擬リーマン計量を備えたケーラー多様体である。
• カイリー変換による局所パラメータ化 $ J = J_0(1+K)(1-K)^{-1} $ は、$ \mathcal{A} $ の $ J_0 $ の近傍と $ \mathrm{End}_{J_0}(TM) $ の開部分集合との微分同相写像を提供し、座標における幾何的構造の明示的計算を可能にする。
• 座標写像 $ \Phi^{-1} $ の微分は $ A^* = 2J_0(1-K)^{-1}A(1-K)^{-1} $ で与えられ、局所座標における接ベクトルの同定を可能にする。