[論文レビュー] On the space of morphisms between étale groupoids

André Haefliger|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、適切な条件下で、2つのエタール群コアの間の点付き準同型の空間にバナッハ多様体構造を構成し、この空間がエタール群コアの軌道空間として解釈できることを示している。主な貢献は、準同型空間の幾何的実現を軌道空間として与えることであり、これは、オルビフォールドやフォリエーション理論における先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Given two étale groupoids $\Cal G$ and $\Cal G'$, we consider the set of pointed morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$. Under suitable hypothesis we introduce on this set a structure of Banach manifold which can be considered as the space of objects of an étale groupoid whose space of orbits is the space of morphisms from $\Cal G$ to $\Cal G'$.

研究の動機と目的

• エタール群コア間の準同型空間のための幾何的・位相的枠組みを提供すること。
• 円周からオルビフォールドへの準同型に関する先行結果を、任意のエタール群コアへ一般化すること。
• 点付き準同型の集合にバナッハ多様体構造を確立し、準同型空間の群コア的解釈を可能にすること。
• コサイクルおよび拡張が、準同型および自己同値を分類する役割を明らかにすること。
• 特に拡張と障害類に関して、文献における先行結果を是正・拡張すること。

提案手法

• 局所的セクションとジェルムを用いて、エタール群コア間の点付き準同型の集合に位相を導入する。
• 局所的自明化と連続的リフトを活用して、点付き準同型の空間にバナッハ多様体構造を構成する。
• ジェルムの群コアを用いて、準同型を局所的データに関連づけ、自然変換を定義する。
• $(\Cal{G}', \Cal{G})$-バンドルおよびコサイクルの理論を適用し、準同型を等変構造を介してパrametrizeする。
• 開被覆における群コアの局所化を用いて、グローバル問題を局所問題に還元する。
• 特に、中心に係数をとった$\check{H}^2$および$\check{H}^3$を用いた層論的およびコhomologicalな道具を用い、拡張と障害を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、2つのエタール群コア間の準同型空間にバナッハ多様体構造を定義できるか。
• RQ2 準同型空間は、他のエタール群コアの軌道空間としてどのように実現できるか。
• RQ3 コサイクルおよび主バンドルは、エタール群コア間の準同型をパラメータリングする上で果たす役割は何か。
• RQ4 Čechコホモロジーにおける障害類は、離散群によるエタール群コアの拡張をどのように分類するか。
• RQ5 作用群コア$\Gamma \ltimes G$の点付き自己同値の群の構造は何か。

主な発見

• 適切な仮定の下で、エタール群コア$\Cal{G}$から$\Cal{G}'$への点付き準同型の集合は、バナッハ多様体構造をもつ。
• このバナッハ多様体は、その軌道空間が$\Cal{G}$から$\Cal{G}'$への準同型空間となるようなエタール群コアの対象空間として解釈できる。
• $\Gamma \ltimes G$の点付き自己同値の群は、$G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$に同型であり、ここで$\mathrm{Aut}(G, \Gamma)$は$\Gamma \subset G$の算術的性質に依存する。
• $G = \mathbb{R}$で、$\Gamma$が無理数比をもつ2つの生成元で生成されるとき、比が超越的であれば$\mathrm{Aut}(G, \Gamma) = \{ \pm 1 \}$、そうでなければ$\mathbb{Q}(\alpha)$の単数群となる。
• パラコンパクト多様体$W$への$\Gamma \ltimes G$の拡張は、$W$から分類空間$B_{(G,\Gamma)}$へのホモトピー類の写像によって分類され、これは、交叉モジュール$\mu: \Gamma \to G \rtimes \mathrm{Aut}(G, \Gamma)$に関連する2群のナーヴの幾何的実現である。
• 群コア$\Cal{G}$への離散群$N$による上に分解可能な拡張が存在するための必要十分条件は、$\check{H}^3(\Cal{G}, \Cal{C})$におけるある障害類が消えることであり、同値類の集合は$\check{H}^2(\Cal{G}, \Cal{C})$と一対一対応する。