[論文レビュー] On the spectrum of 1D quantum Ising quasicrystal

William Yessen|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 70被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トレース写像ダイナミクスと再帰的スケーリング技法を用いて、フィボナッチ準周期的結合を持つ1次元量子イジング模型のエネルギースペクトルが、Lebesgue測度がゼロの多分形カントール集合であることを厳密に証明している。局所ヒルベルト次元はスペクトル全体にわたり連続的に変化し、準周期的シュレーディンガー作用素では観察されない非一様スケーリング構造を確立している。

ABSTRACT

We consider one dimensional quantum Ising spin-1/2 chains with two-valued nearest neighbor couplings arranged in a quasi-periodic sequence, with uniform, transverse magnetic field. By employing the Jordan-Wigner transformation of the spin operators to spinless fermions, the energy spectrum can be computed exactly on a finite lattice. By employing the transfer matrix technique and investigating the dynamics of the corresponding trace map, we show that in the thermodynamic limit the energy spectrum is a Cantor set of zero Lebesgue measure. Moreover, we show that local Hausdorff dimension is continuous and nonconstant over the spectrum. This forms a rigorous counterpart of numerous numerical studies.

研究の動機と目的

• 1次元量子イジングスピン鎖における準周期的結合のスペクトル的性質を厳密に確立すること。
• 数値的実験の示唆するように、エネルギースペクトルが多分形構造を示すかどうかを調査すること。
• モデルパラメータに依存するスペクトルのフラクタル次元を分析すること。
• 従来、シュレーディンガー作用素に用いられてきたトレース写像技法を、技術的困難を伴う非自明な量子イジングモデルへと拡張すること。
• スペクトルが非一様なスケーリングを示すゼロ測度のカントール集合であることを示すこと。

提案手法

• スピン演算子をスピンなしフェルミオンに写像するためのジョルダン＝ヴァイナー変換を用い、有限サイズ格子におけるスペクトルを正確に計算可能にする。
• 移行行列形式を適用し、スペクトルダイナミクスを記述するR³上の2次多項式であるトレース写像を導出する。
• トレース写像の離散的時間ダイナミクスを解析し、エネルギースペクトルと再帰的スケーリング下での不変集合との関係を明らかにする。
• 双曲的および部分的双曲的力学系の道具を用いて、不変集合の位相的およびフラクタル的性質を研究する。
• ヒルシュ＝プーグ＝シューブの不変多様体理論を用いて安定・不安定多様体の存在を確立し、スペクトルスケーリングを分析する。
• 摂動論的議論により、スペクトルおよびそのフラクタル次元がモデルパラメータに連続的に依存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子イジング準結晶のエネルギースペクトルは、Lebesgue測度がゼロのカントール集合か？
• RQ2 スペクトルは非一様な局所ヒルベルト次元を示す多分形スケーリングを示すか？
• RQ3 このイジングモデルのスペクトル構造は、準周期的シュレーディンガー作用素とはどのように異なるか？
• RQ4 シュレーディンガー系とは異なり、技術的困難が生じるが、トレース写像形式主義を量子イジングモデルに厳密に適用可能か？
• RQ5 スペクトルのフラクタル次元はスペクトル全体にわたり連続的かつ非定数的か？

主な発見

• 熱力学的極限において、エネルギースペクトルはLebesgue測度がゼロのカントール集合である。
• スペクトルの局所ヒルベルト次元は連続的かつ非定数的であり、多分形性が裏付けられる。
• スペクトルおよびそのフラクタル次元は、結合強度を含むモデルパラメータに連続的に依存する。
• R³上でのトレース写像ダイナミクスは、再帰的スケーリング下での不変集合を通じて、スペクトルの全構造を捉えている。
• 本手法により、準周期的シュレーディンガー作用素とは異なり、スペクトルはカントール集合ではあるが多分形ではないという根本的な相違が明らかになった。
• 本稿は、1次元量子イジング準結晶モデルにおける多分形性の初の厳密な証明である。