[論文レビュー] On the Stability of Kähler-Einstein Metrics

Xianzhe Dai, Xiaodong Wang+1 more|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スピンc構造を用いて、全スカラー曲率関数の第二変分が共形方向で非負であることを示すことにより、非正のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量の安定性を確立する。主な結果は、このような計量が安定的であり、複素変形が可積分である限り、ヤマベ不変量の局所最大値であり、ケーラー・アインシュタイン計量のスカラー曲率以上であるすべての計量の中で体積を最小化することである。

ABSTRACT

Using spin$^c$ structure we prove that Kähler-Einstein metrics with nonpositive scalar curvature are stable (in the direction of changes in conformal structures) as the critical points of the total scalar curvature functional. Moreover if all infinitesimal complex deformation of the complex structure are integrable, then the Kähler-Einstein metric is a local maximal of the Yamabe invariant, and its volume is a local minimum among all metrics with scalar curvature bigger or equal to the scalar curvature of the Kähler-Einstein metric.

研究の動機と目的

• 全スカラー曲率関数の臨界点として、非正のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量の安定性を確立すること。
• リッチ平坦多様体に関する以前の安定性結果を、非正のスカラー曲率をもつアインシュタイン多様体へとスピンc幾何学を用いて拡張すること。
• 可積分な無限小複素変形の幾何的意味がヤマベ不変量および体積最小性に与える影響を調査すること。
• スカラー曲率が有界な計量変形の下でのケーラー・アインシュタイン計量の局所的挙動を特徴づけること。
• 平行スピンcスピンルの存在と第二変分作用素の正定値性との関係を明らかにすること。

提案手法

• リッチ平坦多様体におけるスピンタールベースの安定性解析を、非正のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン多様体へ一般化するためにスピンc構造を用いる。
• 演算子 $\nabla^*\nabla - 2\overset{\circ}{R}$ とねじれディラック作用素の二乗を結ぶボッハナー型公式を導出する。
• 非正のリッチ曲率の仮定の下で、ボッハナー公式における曲率差が非負であることを示す。
• リッチ曲率が非負であるケーラー多様体に対して、$\mathcal{L}_g$ が正半定値であることを、リッチェルノーツ・ラプラシアン恒等式を用いて証明する。
• コーデイラ・スペンサー理論とクルナシの定理を用いて、複素変形の可積分性およびそのモジュライ空間への影響を分析する。
• ケーラー多様体に自然に備わる標準的スピンc構造は、非ゼロの平行スピンcスピンルの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量が、全スカラー曲率関数の臨界点として安定である条件は何か？
• RQ2 非ゼロの平行スピンcスピンルの存在が、全スカラー曲率の第二変分に与える影響は何か？
• RQ3 すべての無限小複素変形が可積分であるのはいつか？ その幾何的結果は何か？
• RQ4 負のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量は、可積分変形の下でヤマベ不変量の局所最大値になり得るか？
• RQ5 負のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量の体積は、スカラー曲率がそれ以上であるすべての計量の中で最小化されるか？

主な発見

• 非正のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量は、共形変動の方向で安定的であり、全スカラー曲率の第二変分が非負である。
• リッチ曲率が非正であるケーラー多様体に対して、演算子 $\nabla^*\nabla - 2\overset{\circ}{R}$ は正半定値である。
• すべての無限小複素変形が可積分である限り、ケーラー・アインシュタイン計量はヤマベ不変量の局所最大値である。
• 負のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量の体積は、スカラー曲率がそれ以上であるすべての計量の中で最小化される。
• 定数スカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量のすべての計量変形が、すべての複素変形が可積分であるならば、それ自身がケーラー・アインシュタイン計量でなければならない。
• 無限小複素変形の可積分性は、全射的コーデイラ・スペンサー写像をもつ複素解析的ファミリーの存在と同値であり、これは高次元の複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ 内の高次元超曲面など多くの例で成立する。