[論文レビュー] On the stability of locally conformal Kaehler structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的にコンフォーマルなケーラー（l.c.k.）構造が複素構造および平坦線束の小さな変形に対して安定するためのコhomologicalな基準を確立する。$L$-値ドレームおよびドレームコホモロジーを用いて、$(X,L)$ が次数 $(0,2)$ で $\partial\overline{\partial}$-lemma を満たし、$H^3(X,L)=0$ であるならば、l.c.k. 構造はこのような変形に対して保存されることを証明する。結果はホフマン多様体およびイヌエ多様体に応用され、グローバルなポテンシャルが存在しない場合でも安定性が保たれることを示す。

ABSTRACT

In this article we develop a new approach to the problem of the stability of locally conformally Kähler structures (l.c.k structures) under small deformations of complex structures and deformations of flat line bundles. We show that under the certain cohomological condition the stability of l.c.k structures does hold. We apply our approach to Hopf manifolds and its generalizations to obtain the stability of l.c.k structures which do not have potential in general. We give an explicit description of the cohomological obstructions of the stability of l.c.k structures on Inoue surfaces with $b_2=0$.

研究の動機と目的

• 複素構造の小さな変形に対して局所的にコンフォーマルなケーラー（l.c.k.）構造が安定するためのコホモロジカルな条件を確立すること。
• l.c.k. 構造に関連する平坦線束の変形に対しても安定性解析を拡張すること。
• 特に $b_2 = 0$ である非ケーラー的表面、特にイヌエ多様体において、ポテンシャルに基づく手法が失敗する状況での安定性の明示的障害を提供すること。
• 一般化ケーラー幾何における変形理論の技法を、$L$-値微分形式を用いて l.c.k. 環境へと一般化すること。

提案手法

• l.c.k. 構造 $\omega$ に関連する平坦線束 $L$ に対して、$L$-値ドレームおよびドレームコホモロジー群を導入する。
• $L$-値の $\partial\overline{\partial}$-lemma を次数 $(0,2)$ で定義し、安定性のための主要な解析的条件とする。
• $d_L$-作用素の下で、l.c.k. 形式 $\omega$ の $L$-値閉形式への持ち上げ $\tilde{\omega}$ を構成する。
• リー形式 $\eta$ を用いた $d_\eta$-複体におけるホッジ理論を用いて、調和代表元およびコホモロジー類を分析する。
• $H^3(X,L)$ を、複素構造および平坦線束を同時に変形するための障害として計算する。
• 具体的な例（ホフマン多様体、一般化されたホフマン多様体、イヌエ多様体）に理論を適用し、$L$-値ボット・チェルンコホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的にコンフォーマルなケーラー構造が複素構造の小さな変形に対して安定するためのコホモロジカルな条件は何か？
• RQ2 関連する平坦線束も変形される場合、l.c.k. 構造は変形可能か？その障害は何か？
• RQ3 $L$-値形式における $\partial\overline{\partial}$-lemma は、l.c.k. 構造の安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 $b_2 = 0$ であるイヌエ多様体は、グローバルなケーラー的ポテンシャルが存在しないにもかかわらず、安定な l.c.k. 構造を有するか？
• RQ5 $L$-値ボット・チェルンコホモロジー群は、非ケーラー的表面における変形の障害をどのように検出するか？

主な発見

• $L$-値の $\partial\overline{\partial}$-lemma が次数 $(0,2)$ で $(X,L)$ に対して成り立つことは、複素構造の小さな変形に対して l.c.k. 構造が安定であるための十分条件である。
• ホフマン多様体およびその一般化では、特定の平坦線束に対して $\partial\overline{\partial}$-lemma が成り立ち、l.c.k. 構造の安定性が保証される。
• イヌエ多様体 $S_M$ において、$H^3_{\eta}(S_M) \cong H^3(S_M, L)$ 内で $[\eta \wedge \omega] \neq 0$ であることが示され、平坦線束の変形の下で滑らかな l.c.k. 構造の族が存在しないことが証明される。
• イヌエ多様体 $S_{N,p,q,r}^{(-)}$ において、$H^3_{\eta}(S^{(-)})$ 内で $[\eta \wedge \omega]$ が非ゼロであることから、線束の変形の下で滑らかな l.c.k. 構造の族が存在しないことが障害となる。
• $H^3(X,L)$ の消滅は、平坦線束の変形の下で滑らかな l.c.k. 構造の族が存在するための必要条件である。
• $b_2 = 0$ であるイヌエ多様体に対して明示的なコホモロジカル障害を計算し、$\partial\overline{\partial}$-lemma を満たしても、線束の変形の下では l.c.k. 構造が安定でないことが示された。