[論文レビュー] On the Stability of Multilinear Dynamical Systems

Can Chen|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Tensor decomposition and applications参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、動的テンソルが直交的分解可能（odeco）である場合、離散時間多線形力学系の漸近的安定性に関する必要十分条件を、テンソルZ-固有値を用いて確立する。Z-固有値とZ-固有ベクトルを用いた明示的解の導出により、安定性が動的テンソルのスペクトル半径に依存することを示し、安定性を決定するための効率的なZ-スペクトル半径の上界を提供する。非odecoテンソルへの拡張は特異値を用いて行われる。

ABSTRACT

This paper investigates the stability properties of discrete-time multilinear dynamical systems via tensor spectral theory. In particular, if the dynamic tensor of a multilinear dynamical system is orthogonally decomposable (odeco), we can construct its explicit solution by exploiting tensor Z-eigenvalues and Z-eigenvectors. Based on the form of the explicit solution, we illustrate that the Z-eigenvalues of the dynamic tensor play a significant role in the stability analysis, offering necessary and sufficient conditions. In addition, by utilizing the upper bounds of Z-spectral radii, we are able to determine the asymptotic stability of the multilinear dynamical system efficiently. Furthermore, we extend the stability results to the multilinear dynamical systems with non-odeco dynamic tensors by exploiting tensor singular values. We demonstrate our results via numerical examples.

研究の動機と目的

• 離散時間多線形力学系の安定性特性をテンソルスペクトル理論を用いて調査すること。
• 直交的分解可能な（odeco）動的テンソルを有する系について、Z-固有値とZ-固有ベクトルを用いて明示的解の公式を構築すること。
• 動的テンソルのZ-スペクトル半径に基づいた必要十分安定性条件を確立すること。
• テンソル特異値とフロベニウスノルムを用いて、非odeco動的テンソルへの安定性解析を拡張すること。
• 多線形制御系における安定化可能性、可到達性、リャプノフ理論の未解決課題についての今後の方向性を検討すること。

提案手法

• 本稿は、odeco動的テンソルを有する離散時間多線形力学系について、テンソルZ-固有値とZ-固有ベクトルを活用して明示的解を導出する。
• Z-固有値の大きさに基づいた安定性条件を定式化し、Z-スペクトル半径が1未満である場合に限り漸近的安定性が成立することを示す。
• Z-スペクトル半径の上界を、偶数次超対称テンソルに対して提供し、すべてのZ-固有値を計算せずに安定性を効率的に検証可能にする。
• 非odecoテンソルの場合は、テンソルフロベニウスノルムとpモード特異値を用いてスペクトル挙動の代理として安定性を分析する。
• 理論的結果は、提案された境界と条件の有効性を示す数値例を通じて検証される。
• 制御部分空間の反復的スパン拡張に基づき、多線形制御系の可到達性基準に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 odeco動的テンソルを有する離散時間多線形力学系において、漸近的安定性の必要十分条件は何か？
• RQ2 テンソルZ-固有値とZ-固有ベクトルは、このような系の明示的解を構築するためにどのように利用できるか？
• RQ3 Z-スペクトル半径の上界は、すべての固有値を計算せずに安定性を効率的に決定するために用いることができるか？
• RQ4 非odeco動的テンソルを有する多線形系への安定性解析はどのように拡張できるか？
• RQ5 多線形制御系において、可到達性と動的テンソルの構造および制御入力の関係は何か？

主な発見

• odeco動的テンソルを有する場合、多線形系の漸近的安定性はZ-スペクトル半径によって決定され、Z-スペクトル半径が1未満である場合に限り、その系は漸近的に安定である。
• Z-固有値とZ-固有ベクトルを用いた明示的解の公式が導出され、システム軌道および安定性の直接的解析が可能になる。
• 偶数次超対称テンソルのZ-スペクトル半径の上界が提供され、すべてのZ-固有値を計算せずに安定性の効率的検証が可能になる。
• 非odecoテンソルの場合は、テンソルフロベニウスノルムとpモード特異値を用いて安定性が評価され、完全なスペクトル解析の代替として実用的である。
• 同値な多線形表現を構築することにより、結果は同次多項式力学系にも適用可能である。
• 可到達性に関する予想が提示される：系は、制御部分空間の反復的スパンが全空間R^nを生成する場合に可到達であるとされ、特に系の次数kが偶数の場合に有効である。