[論文レビュー] Stability of Polynomial Differential Equations: Complexity and Converse Lyapunov Questions

Amir Ali Ahmadi, Pablo A. Parrilo|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 61被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、3次ベクトル場の漸近的安定性を決定することは強いNP困難であることを確立し、多項式リャプノフ関数を持たないグローバルに漸近的安定な2次系を提示し、平面系または同次多項式系では、多項式リャプノフ関数の存在が、SOS（和の平方）導関数を持つSOSリャプノフ関数の存在を示すことを証明している。これらの結果は、多項式系の安定性解析におけるSOS最適化の複雑性と限界に関する長年の問いを解決する。

ABSTRACT

We consider polynomial differential equations and make a number of contributions to the questions of (i) complexity of deciding stability, (ii) existence of polynomial Lyapunov functions, and (iii) existence of sum of squares (sos) Lyapunov functions. (i) We show that deciding local or global asymptotic stability of cubic vector fields is strongly NP-hard. Simple variations of our proof are shown to imply strong NP-hardness of several other decision problems: testing local attractivity of an equilibrium point, stability of an equilibrium point in the sense of Lyapunov, invariance of the unit ball, boundedness of trajectories, convergence of all trajectories in a ball to a given equilibrium point, existence of a quadratic Lyapunov function, local collision avoidance, and existence of a stabilizing control law. (ii) We present a simple, explicit example of a globally asymptotically stable quadratic vector field on the plane which does not admit a polynomial Lyapunov function (joint work with M. Krstic). For the subclass of homogeneous vector fields, we conjecture that asymptotic stability implies existence of a polynomial Lyapunov function, but show that the minimum degree of such a Lyapunov function can be arbitrarily large even for vector fields in fixed dimension and degree. For the same class of vector fields, we further establish that there is no monotonicity in the degree of polynomial Lyapunov functions. (iii) We show via an explicit counterexample that if the degree of the polynomial Lyapunov function is fixed, then sos programming may fail to find a valid Lyapunov function even though one exists. On the other hand, if the degree is allowed to increase, we prove that existence of a polynomial Lyapunov function for a planar or a homogeneous vector field implies existence of a polynomial Lyapunov function that is sos and that the negative of its derivative is also sos.

研究の動機と目的

• 多項式微分方程式の安定性を決定する計算複雑性を特定すること。
• グローバルに漸近的安定な系が常に多項式リャプノフ関数を有するかどうかを調査すること。
• 多項式リャプノフ関数が存在する場合に、和の平方（SOS）リャプノフ関数が存在するかどうかを検討すること。
• 特定のクラスの系において、多項式およびSOSリャプノフ関数の逆リャプノフ問題を解決すること。
• 多項式系における安定性認証のためのSOSプログラミングの限界と保証を明確化すること。

提案手法

• 既知のNP困難問題への還元を用いて、3次ベクトル場の局所的およびグローバルな漸近的安定性のテストが強いNP困難であることを証明した。
• 平面上のグローバルに漸近的安定な2次ベクトル場の明示的例を構成し、任意の多項式リャプノフ関数が存在しないことを示した。
• 同次ベクトル場に関して、漸近的安定性が有界次数の多項式リャプノフ関数の存在を保証しないこと、および次数が任意に大きくできることを示した。
• 固定次数のSOS（SOS）プログラミングが、存在する場合でも有効なリャプノフ関数を見つけることができない反例を提示した。
• 平面上または同次ベクトル場において、多項式リャプノフ関数が存在するならば、その導関数もSOSであるSOSリャプノフ関数が存在することを証明した。
• 同次化およびポジティヴィスツェルンサッツ型の結果を用いて、安定性問題をSOS実現可能性問題に変換し、代数幾何学的ツールを活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式ベクトル場の漸近的安定性を決定することは計算的に困難か？
• RQ2 すべてのグローバルに漸近的安定な多項式系が多項式リャプノフ関数を有するか？
• RQ3 固定次数探索において、SOS（SOS）プログラミングは、存在する場合に常にリャプノフ関数を発見できるか？
• RQ4 同次系または平面系において、多項式リャプノフ関数の存在が、SOS導関数を持つSOSリャプノフ関数の存在を示唆するか？
• RQ5 系の係数に基づいて、多項式リャプノフ関数の次数に対する計算可能な上界を確立できるか？

主な発見

• 3次ベクトル場の局所的またはグローバルな漸近的安定性を決定することは強いNP困難であるため、P = NPでない限り、効率的なアルゴリズムは存在しない。
• 任意の多項式リャプノフ関数を持たない、平面上のグローバルに漸近的安定な2次ベクトル場が存在する。これは自然な予想を反証する。
• 同次多項式ベクトル場では、漸近的安定性が有界次数の多項式リャプノフ関数の存在を保証しない。最小次数は任意に大きくできる。
• 同次系における多項式リャプノフ関数の次数は単調ではない。高次系では低次リャプノフ関数が必要になることがある。
• 多項式リャプノフ関数の次数を増大させることを許容すれば、平面系または同次系において、そのような関数の存在は、SOS導関数を持つSOSリャプノフ関数の存在を示唆する。
• 平面系または同次系において、任意の多項式リャプノフ関数は、径方向無限大に発散するSOSリャプノフ関数が存在することを示し、その負の導関数は正定値であり、半正定値計画法を用いた安定性認証が可能になる。