[論文レビュー] On the stable reduction of modular curves

Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$\mathbf{Z}_p$ の分岐拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ の半安定整数モデルを、Lubin-Tate 曲線による超特異部分集合の半安定被覆を用いて構成する。主な貢献は、無限レベルの Lubin-Tate 空間が完全体空間（perfectoid space）であることを示したことであり、これは有限レベルの類似物と比較して構造を単純化する。また、非アーベル的 Lubin-Tate 理論と Bushnell-Kutzko のタイプとの関係を結ぶ。

ABSTRACT

We produce an integral model for the modular curve $X(Np^m)$ over the ring of integers of a sufficiently ramified extension of $\mathbf{Z}_p$ whose special fiber is a {\em semistable curve} in the sense that its only singularities are normal crossings. This is done by constructing a semistable covering (in the sense of Coleman) of the supersingular part of $X(Np^m)$, which is a union of copies of a Lubin-Tate curve. In doing so we tie together nonabelian Lubin-Tate theory to the representation-theoretic point of view afforded by Bushnell-Kutzko types. For our analysis it was essential to work with the Lubin-Tate curve not at level $p^m$ but rather at infinite level. We show that the infinite-level Lubin-Tate space (in arbitrary dimension, over an arbitrary nonarchimedean local field) has the structure of a perfectoid space, which is in many ways simpler than the Lubin-Tate spaces of finite level.

研究の動機と目的

• 十分に分岐した $\mathbf{Z}_p$ の拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ の安定な整数モデルを構成すること。
• このモデルの特別ファイバーが、正則交差特異点のみをもつ半安定になるように保証すること。
• 半安定被覆を用いて、非アーベル的 Lubin-Tate 理論と Bushnell-Kutzko のタイプの表現論的枠組みを統一すること。
• 無限レベルの Lubin-Tate 空間を解析し、任意の非アルキメデス的局所体上、任意の次元においてその構造が完全体空間であることを確立すること。

提案手法

• Lubin-Tate 曲線のコピーを用いて、$X(Np^m)$ の超特異部分集合の半安定被覆を構成すること。
• 幾何学的・算術的構造を単純化するために、有限レベル近似ではなく無限レベルの Lubin-Tate 空間を用いること。
• 完全体空間の理論を用いて、無限レベルの Lubin-Tate 空間が完全体構造をもつことを示すこと。
• 無限レベル空間上の作用を解析することで、非アーベル的 Lubin-Tate 理論と Bushnell-Kutzko のタイプとの関係を確立すること。
• Coleman の半安定被覆の概念を用いて、モジュラー曲線の特別ファイバーの特異点を制御すること。
• 無限レベルにおける Lubin-Tate 曲線の幾何を用いて、モジュラー曲線の超特異点近傍における局所構造をモデル化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、$\mathbf{Z}_p$ の分岐拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ の半安定整数モデルを構成できるか？
• RQ2 非アルキメデス的局所体上での無限レベルの Lubin-Tate 空間の幾何学的・算術的構造は何か？
• RQ3 無限レベルの Lubin-Tate 空間は、表現論的枠組み（Bushnell-Kutzko のタイプ）とどのように関係するか？
• RQ4 無限レベルの Lubin-Tate 空間に完全体構造を導入できるか？また、これは有限レベルバージョンと比較して解析をどのように単純化するか？
• RQ5 超特異部分集合の半安定被覆は、$X(Np^m)$ の特別ファイバーを半安定にするために果たす役割は何か？

主な発見

• 十分に分岐した $\mathbf{Z}_p$ の拡大上でのモジュラー曲線 $X(Np^m)$ は、正則交差特異点のみをもつ半安定特別ファイバーをもつ整数モデルをもつ。
• $X(Np^m)$ の超特異部分集合は、Coleman の意味での半安定被覆をなす、Lubin-Tate 曲線のコピーによって被覆される。
• 任意の次元および任意の非アルキメデス的局所体上での無限レベルの Lubin-Tate 空間は完全体空間である。
• 無限レベルの Lubin-Tate 空間の完全体構造は、有限レベルの Lubin-Tate 空間と比較して、その幾何学的・算術的構造を単純化する。
• 非アーベル的 Lubin-Tate 理論と Bushnell-Kutzko のタイプとの間に深い関係が確立される。
• この構成により、無限レベルの Lubin-Tate 空間が、モジュラー曲線の安定還元を研究する自然でより単純な枠組みを提供することが明らかになった。