[論文レビュー] On the Strong Roman Domination Number of Graphs

M. P. Álvarez-Ruiz, Ismael G. Yero+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複数の同時攻撃に対する防衛をモデル化する新しいグラフ不変量である強ローマン支配数 γStR(G) を導入する。各支配されていない頂点は、2つのレジメンを備えた隣接頂点によって保護されなければならない。著者らは、問題が NP 完全であることを証明し、特に木について γStR(T) ≤ 6n/7 であるtightな境界を確立し、木について ⌈(n+1)/2⌉ から ⌊6n/7⌋ までの値の実現可能性を完全に特徴づけている。

ABSTRACT

Based on the history that the Emperor Constantine decreed that any undefended place (with no legions) of the Roman Empire must be protected by a "stronger" neighbor place (having two legions), a graph theoretical model called Roman domination in graphs was described. A Roman dominating function for a graph $G=(V,E)$, is a function $f:V ightarrow \{0,1,2\}$ such that every vertex $v$ with $f(v)=0$ has at least a neighbor $w$ in $G$ for which $f(w)=2$. The Roman domination number of a graph is the minimum weight, $\sum_{v\in V}f(v)$, of a Roman dominating function. In this paper we initiate the study of a new parameter related to Roman domination, which we call strong Roman domination number and denote it by $γ_{StR}(G)$. We approach the problem of a Roman domination-type defensive strategy under multiple simultaneous attacks and begin with the study of several mathematical properties of this invariant. In particular, we first show that the decision problem regarding the computation of the strong Roman domination number is NP-complete, even when restricted to bipartite graphs. We obtain several bounds on such a parameter and give some realizability results for it. Moreover, we prove that for any tree $T$ of order $n\ge 3$, $γ_{StR}(T)\le 6n/7$ and characterize all extremal trees.

研究の動機と目的

• 複数の同時攻撃に対する防衛をモデル化する新しいグラフ理論的モデルを形式化すること。歴史的なローマ帝国の防衛戦略にインspiredされたものである。
• 複数の攻撃シナリオ下でのローマン支配の変種として、強ローマン支配数 γStR(G) を定義し、その性質を調査すること。
• 計算量の複雑性を確立し、γStR(G) を決定することは、二部グラフに制限しても NP 完全であることを証明すること。
• グラフのパラメータ（次数、直径、閉路長など）を用いて、γStR(G) のtightな上界および下界を導出すること。
• 上界 γStR(T) ≤ 6n/7 を達成するすべての木を構造的パラメータで完全に特徴づけること。
• 範囲 [⌈(n+1)/2⌉, ⌊6n/7⌋] 内の任意の整数値 p について、γStR(T) = p を満たす木 T が存在することを証明し、その値の完全な実現可能性を示すこと。

提案手法

• 強ローマン支配関数（SRDF）を、f: V → {0,1,2} である関数として定義し、f(v)=0 を満たすすべての頂点 v が、f(w)=2 を満たす隣接頂点 w を持つこととする。
• 強ローマン支配数 γStR(G) を、G 上のすべての SRDF における重み ∑f(v) の最小値として定義する。
• 二部グラフに制限しても、γStR(G) 決定問題の NP 完全性を還元技術を用いて証明する。
• 次数 n、直径 Diam(G)、閉路長 g(G) などの構造的グラフパラメータを用いて、γStR(G) の一般境界を導出する。
• 整数 q, j, l をパラメータとするグラフ族 Gₙ(q,j,l) を構成し、指定された範囲内で任意の望ましい値 p に対する γStR(G) の実現を可能にする。
• Diophantine 方程式の連立系の代数的変形を用いて、n と p が与えられたとき、整数解 q, j, l を得られるようにし、グラフの実現可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたグラフについて、強ローマン支配数 γStR(G) を決定する問題の計算量の複雑性は何か？
• RQ2 グラフの次数およびその他の構造的パラメータに関して、γStR(G) のtightな上界および下界は何か？
• RQ3 次数 n の木 T について、γStR(T) の最大値は何か？ また、どの木がこの上界に達するか？
• RQ4 ⌈(n+1)/2⌉ から ⌊6n/7⌋ の間の任意の整数 p について、γStR(T) = p を満たす次数 n の木 T が存在するか？
• RQ5 指定された次数 n に対して、与えられた強ローマン支配数 p を実現するグラフを体系的にどのように構成できるか？

主な発見

• γStR(G) を計算する決定問題は、二部グラフに制限しても NP 完全である。
• 任意の次数 n ≥ 3 の木 T について、強ローマン支配数は γStR(T) ≤ 6n/7 を満たし、この境界はtightである。
• 上界 γStR(T) = 6n/7 を達成するすべての極値の木は、その構造的パラメータを用いて完全に特徴づけられている。
• 任意の整数 n ≥ 3 および p について、⌈(n+1)/2⌉ ≤ p ≤ ⌊6n/7⌋ を満たすとき、γStR(T) = p を満たす次数 n の木 T が存在する。これは、この範囲内の値の完全な実現可能性を示している。
• このようなグラフの構成は、パラメータ q, j, l を決定するための Diophantine 方程式系の解法に依存しており、望ましい γStR 値を実現する。
• 解法プロセスにより、任意の有効な p に対して、常に整数値の q および l が得られることを保証しており、すべての妥当な p に対してそのようなグラフが存在することを確認している。