[論文レビュー] On the structure of almost Einstein manifolds

Gang Tian, Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率が下から有界で、正規化リッチフロー下でスカラー曲率がL¹の意味でほぼ定数であるリーマン多様体であるほぼアインシュタイン多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限の構造を確立する。非崩壊条件のもとで、極限空間は滑らかで正則な部分（metricが極限アインシュタイン方程式を満たす）と、余次元2以上の特異集合に分解される。これは、チーラー＝コールディングの正則性理論を弱くアインシュタインな列へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study the structure of the limit space of a sequence of almost Einstein manifolds, which are generalizations of Einstein manifolds. Roughly speaking, such manifolds are the initial manifolds of some normalized Ricci flows whose scalar curvatures are almost constants over space-time in the $L^1$-sense, Ricci curvatures are bounded from below at the initial time. Under the non-collapsed condition, we show that the limit space of a sequence of almost Einstein manifolds has most properties which is known for the limit space of Einstein manifolds. As applications, we can apply our structure results to study the properties of Kähler manifolds.

研究の動機と目的

• リッチ曲率とスカラー曲率の弱い制御を通じてアインシュタイン多様体を一般化する「ほぼアインシュタイン多様体」の列に対するアインシュタイン多様体の正則性理論を拡張すること。
• このような列のグロモフ＝ハウスドルフ極限空間の構造、特に極限空間の正則部と特異部の性質を理解すること。
• 極限の正則部が滑らかで凸であるリーマン多様体であり、極限アインシュタイン方程式を満たすことを確立すること。
• 特異集合のハウスドルフ余次元が少なくとも2であり、特異点における接錐がユークリッドでないことを示すこと。
• 自然な幾何的不変量を用いて、特にファノ多様体に対して、ほぼケーラー・アインシュタイン列を構成することにより、結果をケーラー幾何学に応用すること。

提案手法

• 正規化リッチフロー下でスカラー曲率の定数からのL¹ノルムの収束を満たす、下からのリッチ曲率の有界性、非崩壊体積制御、およびその組み合わせにより、ほぼアインシュタイン多様体を定義する。
• 下からのリッチ曲率の有界性のもとで、曲率と体積成長を制御するための擬似局所性定理を用いる。
• 熱核および最大関数の技法を用いて、曲率、距離、体積の均一推定を確立する。
• グロモフのコンパクトネスと接錐解析を用いて、極限空間を正則部と特異部に分解する。
• 正規化リッチフローを用いて、初期計量をスカラー曲率がほぼ定数であるように進化させ、L¹ノルムの偏差が極限で消えることを保証する。
• ファノ多様体上に、不変量𝒢(M) = 1 であるような明示的なほぼケーラー・アインシュタイン列を構成する。これは、α(M) ≥ n/(n+1) またはKエネルギーが下から有界であるとき成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非崩壊条件下で、ほぼアインシュタイン多様体の列のグロモフ＝ハウスドルフ極限が、その正則部に滑らかなアインシュタイン構造をどのように引き継ぐか。
• RQ2 極限空間の特異集合は、ハウスドルフ次元および接錐幾何学においてどのように振る舞うか。
• RQ3 L¹の意味で僅かにアインシュタインである列に対し、アインシュタイン多様体の正則性結果を拡張できるか。
• RQ4 ファノ多様体上のどの幾何的不変量が、ほぼケーラー・アインシュタイン列の存在を保証するか。
• RQ5 ほぼケーラー・アインシュタイン列の極限空間は、複素構造およびコhomology類の列の選び方に依存しないか。

主な発見

• 非崩壊なほぼアインシュタイン多様体の列の極限空間は、正則部ℛと特異部𝒮に分解され、ℛは滑らかで凸なリーマン多様体である。
• 正則部の計量は、極限アインシュタイン方程式 Ric(ḡ) + λ̄ḡ = 0 を満たす。ここで λ̄ はアインシュタイン定数の極限である。
• 正則部では、任意の 0 < p < 1 に対してリーマン曲率テンソルのLᵖノルムが一様に有界であり、次元、非崩壊定数、半径に依存する。
• 任意の特異点 y において、すべての接錐は ℝᵐ の標準単位球からのグロモフ＝ハウスドルフ距離が ε(m) よりも大きい。これは非ユークリッド構造を示唆する。
• 特異集合のハウスドルフ余次元は少なくとも2であり、これはチーラー＝コールディングのアインシュタイン列に対する結果を一般化する。
• 𝒢(M) = 1 を満たすファノ多様体では、Ric(ωᵢ) ≥ αᵢωᵢ かつ αᵢ → 1 を満たす計量を用いて、ほぼケーラー・アインシュタイン列を構成でき、極限でスカラー曲率の偏差のL¹ノルムが消える。