[論文レビュー] On the Structure of Equidistant Foliations of Euclidean Space

Christian Boltner|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間の等距離foliationが常にアフィン葉をもつことを確立し、正則foliationにおけるGromollとWalschapの結果を一般化する。このようなfoliationは、アフィン葉の法空間におけるコンパクトな等距離foliationと一般化されたねじり運動によって特徴づけられ、foliationが一様であるための条件を提示し、部分等長写像の因子分解を用いて、非コンパクトな非一様例を新たに構成する。

ABSTRACT

This thesis is concerned with equidistant foliations of Euclidean space, i.e. partitions into complete, connected, properly embedded smooth submanifolds. The space of leaves is an Alexandrov space of nonnegative curvature and the canonical projection is a submetry. Generalizing a result of Gromoll and Walschap we show that an equidistant foliation always has an affine leaf and we prove homogeneneity of the foliation under certain additional assumptions. Moreover, we give several reducibility results and construct new (noncompact) inhomogeneous examples of equidistant foliations.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間の等距離foliationが一様であるかどうか、特に非コンパクトな場合にその判定を行う。
• GromollとWalschapの正則等距離foliationにおけるアフィン葉をもつ結果を、特異な場合に一般化すること。
• 部分等長写像と水平層における誘導されたfoliationを用いて、等距離foliationの構造を特徴づけること。
• 部分等長写像の因子分解を用いて、非コンパクトな非一様等距離foliationを新たに構成すること。
• 水平空間における誘導されたfoliationが元のfoliationの一様性を示す条件を特定すること。

提案手法

• Cheeger-Gromollのソウル構成を用いて、特異な場合を含め、任意のR^nにおける等距離foliationにアフィン葉が存在することを証明する。
• 各水平層L_p = p + ν_pF_0における誘導されたfoliationを検討し、それが等距離性を引き継ぐことを示す。
• foliationは、アフィン葉まわりの一般化されたねじり運動と、法空間における誘導されたfoliationから再構成される。
• 部分等長写像理論とアレクサンドロフ空間の幾何学を用いて、葉の空間B = R^n / Fおよびそのソウルを分析する。
• 既知のfoliationから、誘導されたfoliationによる商算を用いて、新しい非一様等距離foliationを構成する因子分解手順を開発する。
• 誘導されたfoliationの等長群が葉空間のソウル上で推移的かつ有効に作用する場合、一様性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のR^nにおける等距離foliationは、特異な場合を含め、常にアフィン葉をもつのか？
• RQ2 等距離foliationは、アフィン葉まわりのねじり運動と、その法空間におけるコンパクトな等距離foliationに分解可能か？
• RQ3 等距離foliationが一様であるための条件は何か、特に法空間における誘導されたfoliationが一様である場合に限って。
• RQ4 部分等長写像の因子分解を用いて、既知の例から非コンパクトな非一様等距離foliationを構成可能か？
• RQ5 元のfoliationの等距離性が、法空間における誘導されたfoliationの等距離性を必要とするのか？

主な発見

• R^nにおける任意の等距離foliationは、少なくとも1つのアフィン葉をもつ。これは、GromollとWalschapの結果を特異な設定にまで拡張する。
• foliationの構造は、アフィン葉まわりの一般化されたねじり運動と、その法空間における誘導された等距離foliationによって完全に特徴づけられる。
• 各水平層における誘導されたfoliation自体が等距離であり、すべての誘導されたfoliationが等長である場合、元のfoliationは1つのfoliationとねじり運動によって決定される。
• 誘導されたfoliationの等長群が葉空間のソウル上で推移的かつ有効に作用する場合、元のfoliationの一様性が保証される。
• 部分等長写像の因子分解を用いて、非コンパクトな非一様等距離foliationが構成され、既知のコンパクトな例を超える例が得られる。
• 元のfoliationの一様性が誘導されたfoliationの一様性を示すという予想が提示され、特に非可約な場合に、誘導されたfoliationの一様性が元のfoliationの一様性を示すと予想される。