[論文レビュー] On the structure of $\infty$-Harmonic maps

Nicholas Katzourakis|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Apr 24, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、関数 $ E_\infty(u,\Omega) = \|H(Du)\|_{L^\infty(\Omega)} $ の $ L^\infty $ 変分問題のオイラー＝ラグランジュ方程式として生じる退化した非線形準線形 PDE である ∞-調和写像の構造を調査する。特に $ n=2 \leq N $、$ H(P) = \frac{1}{2}|P|^2 $ の場合に注目する。ランク1写像に関する剛性定理を確立し、$ |Du| $ のゼロの非存在を証明し、極座標による解の特徴付けを行う。その結果、$ k \neq 1 $ の場合、解は一様次元的であり、$ k=1 $ の場合、解は2次元平面に存在し、特定の幾何的制約を満たす ODE システムを満たすことが示される。

ABSTRACT

Let $H \in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$, $H\geq 0$. The PDE system \[ \label{1} A_\infty u \, :=\, \Big(H_P \otimes H_P + H [H_P]^\bot H_{PP} \Big)(Du) : D^2 u\, = \, 0 ag{1} \] arises as the ``Euler-Lagrange PDE" of vectorial variational problems for the functional $E_{\infty}(u,Ω) = \| H(Du) \|_{L^\infty(Ω)}$ defined on maps $u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$. \eqref{1} first appeared in the author's recent work \cite{K3}. The scalar case though has a long history initiated by Aronsson in \cite{A1}. Herein we study the solutions of \eqref{1} with emphasis on the case of $n=2\leq N$ with $H$ the Euclidean norm on $\mathbb{R}^{N imes n}$, which we call the ``$\infty$-Laplacian". By establishing a rigidity theorem for rank-one maps of independent interest, we analyse a phenomenon of separation of the solutions to phases with qualitatively different behaviour. As a corollary, we extend to $N \geq 2$ the Aronsson-Evans-Yu theorem regarding non-existence of zeros of $|Du|$ and prove a Maximum Principle. We further characterise all $H$ for which \eqref{1} is elliptic and also study the initial value problem for the ODE system arising for $n=1$ but with $H(\cdot,u,u')$ depending on all the arguments.

研究の動機と目的

• ベクトル値 $ L^\infty $ 変分法における ∞-調和写像の構造を分析すること、特に $ n=2 \leq N $ の場合に注目すること。
• $ |Du| $ が消える、または $ Du $ のランクが変化する場合に、∞-ラプラシアン PDE の解の挙動を理解すること。
• 2次元以上の場合のベクトル値設定へのアロンソン＝エヴァンズ＝ユーの定理（$ |Du| $ のゼロの非存在）の拡張を達成すること。
• ∞-ラプラシアン系が強線形的（elliptic）であるようなすべてのハミルトニアン $ H $ を特徴付けること。
• $ H $ が $ u, u' $ に依存する $ n=1 $ の場合の ODE システムの初期値問題を研究すること。

提案手法

• $ p \to \infty $ の極限において $ p $-ラプラシアン系の形式的極限として ∞-ラプラシアン PDE を導出する。この際、$ Du $ の像空間および核空間への直交射影を用いる。
• ランク1写像に関する剛性定理を適用し、$ Du $ のランクに応じた解の分解（異なるフェーズ）を分析する。
• 極座標 $ (\rho, \theta) $ を用いて、解が $ u = \rho^k f(k\theta) $ の形で径向同次的である場合に PDE を ODE システムに簡約する。
• 回転不変性を持つ系構造を用いて、2つの ODE を導出する：(6.1) は接線成分、(6.2) は法線成分のヘッセ行列に関するもの。
• 解のランクが変化する際、$ [Du]^\perp $ として表される幾何的射影を用い、フェーズ境界および界面特異点を特定する。これらの射影は、$ Du $ のランクが変化するとき不連続となる。
• 粘性解理論と正則性解析を用いて、PDE の退化性および不連続係数に対処する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル値設定 $ n=2, N\geq 2 $ における ∞-調和写像の構造的挙動は何か。特に $ |Du| $ が消える、または $ Du $ のランクが変化する場合に注目する。
• RQ2 ∞-ラプラシアン PDE の解は、1次元的挙動と2次元的挙動という質的に異なる挙動を示すフェーズにどのように分解されるか。
• RQ3 アロンソン＝エヴァンズ＝ユーの定理（$ |Du| $ のゼロの非存在）は、$ N \geq 2 $ のベクトル値設定へと拡張可能か。
• RQ4 ハミルトニアン $ H $ にどのような条件を課すと、∞-ラプラシアン系が強線形的（elliptic）になるか。
• RQ5 $ n=1 $ の場合の ∞-ラプラシアン ODE システムの解の構造は何か。特に $ H $ が $ u $ および $ u' $ に依存する場合に注目する。

主な発見

• $ k \neq 1 $ の場合、極座標形 $ u = \rho^k f(k\theta) $ に従う ∞-ラプラシアンのすべての解はランク1を一定に保ち、像は原点を通る直線上に存在する。
• $ k = 1 $ の場合、解のランクは最大2であり、像は2次元平面に存在する。解は $ f(\theta) = c\cos B(\theta)(\cos A(\theta), \sin A(\theta))^\top $ の形に表され、$ |B'|^2 + |A'|^2 \cot^2 B = 1 $ かつ $ 0 < B \leq \pi/2 $ を満たす。
• 本稿では、$ N \geq 2 $ の場合、$ |Du| $ が定義域の内部でゼロになることは不可能であることを証明し、アロンソン＝エヴァンズ＝ユーの定理をベクトル値設定に拡張する。
• 系が強線形的であるための必要十分条件は、$ H_P $ の核空間上で $ H $ のヘッセ行列が特定の非退化性条件を満たすことである。この条件は本稿で特徴付けられている。
• $ u(x,y) = e^{ix} - e^{iy} $ のような解は、ランクのジャンプに起因して係数が不連続となり、2次元領域と1次元領域に分かれるフェーズ分解を示す。
• $ n=1 $ の ODE システムの初期値問題は、$ H $ に関する適切な正則性および非退化性仮定のもとで適切に定式化される。