[論文レビュー] $\\mathcal{D}$-solutions to the system of vectorial Calculus of Variations in $L^\\infty$ via the singular value problem

Gisella Croce, Nikos Katzourakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異値問題を介して、$L^\infty$ におけるベクトル値変分法の\mathcal{D}$-解を導入する。これは、ハミルトニアン $\mathrm{H}$ の凸性を仮定しない完全非線形系に対する一般化解としての $W^{1,\infty}$-準同型写像を構成する。主な貢献は、一般次元 $n \neq N$ における特異値問題の強い解の存在を示す新規な結果であり、これはバナッハ・カテゴリー法とヤング測度を用いた $\mathcal{D}$-解の構成に不可欠である。

ABSTRACT

For $\\mathrm{H} \\in C^2(\\mathbb{R}^{N \ imes n})$ and $u : \\Omega \\subseteq \\mathbb{R}^n \ o \\mathbb{R}^N$, consider the system \\[ \\label{1}\\mathrm{A}\\_\\infty u\\, :=\\,\\Big(\\mathrm{H}\\_P \\otimes \\mathrm{H}\\_P + \\mathrm{H}[\\mathrm{H}\\_P]^\\bot \\mathrm{H}\\_{PP}\\Big)(\\mathrm{D} u): \\mathrm{D}^2 u\\, =\\,0. \ ag{1}\\]We construct $\\mathcal{D}$-solutions to the Dirichlet problem for (1), an apt notion of generalised solutions recently proposed for fully nonlinear systems. Our $\\mathcal{D}$-solutions are $W^{1,\\infty}$-submersions and are obtained without any convexity hypotheses for $\\mathrm{H}$, through a result of independent interest involving existence of strong solutions to the singular value problem for general dimensions $n\ eq N$.

研究の動機と目的

• 完全非線形系が生じる $L^\infty$ におけるベクトル値変分法に対して、一般化解概念 $\mathcal{D}$-解を確立すること。
• $\mathrm{H}$ のハミルトニアンの凸性を仮定しない $\mathrm{A}_{\infty}$-系のディリクレ問題を解くこと。
• 一般次元 $n \neq N$ における特異値問題の強い解の存在を証明すること。これは独立に価値のある結果である。
• スカラーの場合を超えて、非凸 $\mathrm{H}$ を持つベクトル値設定への $L^\infty$ 変分法の理論を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、ヘッセ測度の弱*極限とヤング測度に基づく一般化された解概念である $\mathcal{D}$-解フレームワークを採用する。
• 解の構成にはバナッハ・カテゴリー法を用い、$W^{1,\infty}$-準同型写像の空間で実行する。
• 主な技術的要素として、$n \neq N$ の場合における $\mathrm{H}$-固定勾配を持つ特異値問題の強い解の構成が挙げられる。
• テスト関数の台のコンパクト性と $L^1$ における双対ペアリングの弱*強連続性に依存する。
• 証明は、正則化された問題の列による系の近似と、$L^1$ における収束および $\mathrm{A}_{\infty}$-作用素の構造を用いた極限への移行を含む。
• 解析では、直交射影 $[\mathrm{H}_P]^\perp$ と $\mathrm{A}_{\infty}$-作用素のテンソル構造を活用して、不連続係数の取り扱いを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{H}$ の凸性仮定なしに、ベクトル値 $L^\infty$ 変分問題の $\mathcal{D}$-解を構成できるか？
• RQ2 特異値問題は、$L^\infty$ における完全非線形系の一般化解を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 $N=1$ のスカラーの場合、$\mathcal{D}$-解は粘性解とどのように関係するか？
• RQ4 $C^1$ の $\mathcal{D}$-解は、古典的な変分的意味での上界汎関数の臨界点とみなせるか？
• RQ5 バナッハ・カテゴリー法を用いて、一般次元 $n \neq N$ における $\mathrm{A}_{\infty}$-系を解けるか？

主な発見

• 本稿は、任意の $C^2$ ハミルトニアン $\mathrm{H}$ に対して $\mathrm{A}_{\infty}$-系の $\mathcal{D}$-解の存在を確立する。凸性がなくても成立する。
• 構成された $\mathcal{D}$-解は $W^{1,\infty}$-準同型写像であるため、勾配の正則性と上への性質が保証される。
• 一般次元 $n \neq N$ における特異値問題の強い解の存在について、新規な結果が証明され、これは構成の中心的役割を果たす。
• バナッハ・カテゴリー法における近似列の極限は $L^1$ で収束し、双対ペアリングを保存するため、弱*極限への移行が可能となる。
• $\mathcal{D}$-解概念が、古典的臨界点の概念が失敗する場合でも、$L^\infty$ 汎関数の変分的構造と整合的であることが示された。
• 本手法は凸性や強制性の必要を回避するため、$\infty$-ラプラシアン系を含む広範な非凸 $\mathrm{H}$ に適用可能である。