[論文レビュー] On the Structure of Trans-Series in Quantum Field Theory

Marcos Mariño, Ramon Miravitllas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2023

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子場理論におけるトランスシリーズの収束を検討し、可解で漸近的に自由な2次元QFTの自由エネルギーに注目する。部分級数—各結合定数の次数における指数的に小さい補正の展開—が収束することを数値的証拠で示しており、全Borel再まとめられたトランスシリーズが追加の発散を伴わずに良好に定義された関数を形成することを示唆している。これは、一般の相関関数ではこのような収束が成立しないのと対照的である。

ABSTRACT

Many observables in quantum field theory can be expressed in terms of trans-series, in which one adds to the perturbative series a typically infinite sum of exponentially small corrections, due to instantons or to renormalons. Even after Borel resummation of the series in the coupling constant, one has to sum this infinite series of small exponential corrections. It has been argued that this leads to a new divergence, which is sometimes called the divergence of the OPE. We show that, in some interesting examples in quantum field theory, the series of small exponential corrections is convergent, order by order in the coupling constant. In particular, we give numerical evidence for this convergence property in the case of the free energy of integrable asymptotically free theories, which has been intensively studied recently in the framework of resurgence. Our results indicate that, in these examples, the Borel resummed trans-series leads to a well defined function, and there are no further divergences.

研究の動機と目的

• 量子場理論の観測量におけるトランスシリーズ展開における指数的に小さい補正の無限和が収束するかどうかを評価すること。
• 結合定数の固定次数における指数的補正の級数（部分級数）の収束を、数値的および解析的手段でテストすること。
• 可解で漸近的に自由な2次元QFTの自由エネルギーが、収束する部分級数を示すかどうかを調査すること。これは、再まとめられたトランスシリーズが良好に定義されることを示唆する。
• この性質が一般の相関関数とは対照的であることを検証し、それらではこのような収束が成立せず、いわゆる「OPEの発散」を引き起こす。
• 自由エネルギーが通常の観測量よりも単純な解析的構造を持つ可能性があるという証拠を提供し、それによってリジューレンスのテストベッドとしての役割を支持すること。

提案手法

• QFTにおけるトランスシリーズを、摂動的級数と指数的に小さい非摂動的補正の和として定義し、結合定数gとe^(-A/g)の2つの展開パラメータを導入する。
• 「部分級数」という概念を導入する—固定されたgの次数におけるe^(-A/g)に関する級数であり、全トランスシリーズの収束を推定するための代理指標として用いる。
• 大Nスカラー模型と複素チャーン・シモンズ理論を用いて、単純で解けるモデルにおける部分級数の収束を数値的に検証する。
• e^(-2/ᾱ)において15次以上の高次の数値計算を実施し、可解な2次元QFTにおけるトランスシリーズ展開と正確な結果を比較する。
• 最近の文献（例：bbv2）における正確な結果を活用し、可解モデルにおける収束に関する数値的証拠を検証および拡張する。
• 特に特異点の解析的構造を分析することで、収束する部分級数の意味を理解する。

Figure 1: The sequences ( 3.24 ) for $n=1$ (left) and $n=6$ (right), represented by black dots, together with their Richardson transforms of order $3$ , represented by red dots.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実的な量子場理論において、結合定数の各次数における指数的に小さい補正の部分級数は収束するか？
• RQ2 可解な2次元QFTの自由エネルギーにおける収束する部分級数は、良好に定義された、発散しないBorel再まとめられたトランスシリーズを示唆するか？
• RQ3 可解モデルにおける自由エネルギーの解析的構造は、一般の相関関数（例：アドラー関数）とはどのように異なるか？
• RQ4 部分級数の収束が、摂動論を超えたQFTにおけるリジューレンスの有効性を保証する役割を果たすか？
• RQ5 可解モデルの自由エネルギーは、より良いリジューレンス的性質を示す広いクラスのQFT観測量のプロトタイプとして機能できるか？

主な発見

• 数値的証拠により、可解で漸近的に自由な2次元QFTの自由エネルギーにおける部分級数が、e^(-2/ᾱ)において15次までおよびそれ以上の高次において収束することが確認された。
• 大Nスカラー模型および複素チャーン・シモンズ理論における部分級数の収束は、非自明なQFTにおいてもこのような収束が可能であるという一般的仮説を支持する。
• 可解モデルにおける自由エネルギーは、特異点構造が単純である—おそらくh = mに1つの特異点しか持たない—ことが示唆され、収束する部分級数と整合的である。
• 非摂動的領域の和が発散しないことは、この観測量のBorel再まとめられたトランスシリーズが良好に定義され、有限であることを示唆する。
• この性質は、一般の相関関数（例：アドラー関数）とは顕著に異なる。一般の相関関数では、非摂動的補正の和が階乗的発散を示し、「OPEの発散」と呼ばれる現象を引き起こす。
• 結果から、可解モデルにおける自由エネルギーは、解析的複雑性が低いため、リジューレンスにとって特に望ましい観測量である可能性が示唆される。

Figure 2: The singularity structure of the large $N$ two point function is shown on the left, in the $p^{2}/m^{2}$ plane. There is a single branch cut singularity at $-9$ , as it follows from ( 3.23 ). At finite $N$ , it has been argued in beneke-braun that there will be many singularities along the