[論文レビュー] On the Subgroups of Right Angled Artin Groups and Mapping Class Groups

Martin R. Bridson|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、十分に高い genus の曲面に対して、同相型写像類群が、決定不能な同型問題、共役問題、メンバー問題をもつ有限生成部分群を含むことを確立している。この結果は、決定不能な問題をもつ右回転アービトランアーベル群（RAAG）を同相型写像類群に埋め込むことで得られた。さらに、このような部分群は指数関数的 Dehn 関数をもつ可能性があり、無限個のねじれ元の共役類を含むことも示された。

ABSTRACT

There exist right angled Artin groups $A$ such that the isomorphism problem for finitely presented subgroups of $A$ is unsolvable, and for certain finitely presented subgroups the conjugacy and membership problems are unsolvable. It follows that if $S$ is a surface of finite type and the genus of $S$ is sufficiently large, then the corresponding decision problems for the mapping class group $Mod(S)$ are unsolvable. Every virtually special group embeds in the mapping class group of infinitely many closed surfaces. Examples are given of finitely presented subgroups of mapping class groups that have infinitely many conjugacy classes of torsion elements.

研究の動機と目的

• 写像類群の有限生成部分群における群論的問題の決定可能性について長年の未解決問題を解消すること。
• 曲面の genus が十分に大きいとき、特定の有限生成部分群における同型問題、共役問題、メンバー問題が決定不能であることを示すこと。
• バーチャルにスペシャルな群が、無限個の閉曲面の写像類群に埋め込まれることを示し、部分群構造の既知の範囲を拡張すること。
• 写像類群の有限生成部分群が無限個のねじれ元の共役類を含む例を構成すること。これは Torelli 部分群には見られない現象である。
• このような部分群における語問題の幾何的複雑性を分析し、指数関数的 Dehn 関数をもつ例を提示すること。

提案手法

• 幾何的群論と 1-2-3 定理の結果を用いて、決定不能な問題をもつ右回転アービトランアーベル群（RAAG）を写像類群に埋め込むこと。
• すべてのバーチャルにスペシャルな群が RAAG に埋め込まれることに着目し、したがって無限個の閉曲面の写像類群に埋め込まれることを活用すること。
• Haglund と Wise の Rips 構成と、Bridson と Miller の双曲群の部分積の同型問題に関する研究を活用すること。
• SL(2,Z) の部分群の直積を用いた具体的な例の構成。これらはバーチャルに自由群であり、高 genus の曲面に埋め込まれる。
• 双曲 3 構造の基本群の部分群に指数関数的 Dehn 関数が存在することを示し、それが RAAG に埋め込まれることを応用すること。
• 有限指数部分群と埋め込み定理を用いて、RAAG からの決定不能性と複雑性の結果を写像類群に移すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高 genus の曲面の写像類群のすべての有限生成部分群について、同型問題、共役問題、メンバー問題は決定可能か？
• RQ2 写像類群の有限生成部分群が無限個のねじれ元の共役類を含むことは可能か？
• RQ3 写像類群の有限生成部分群は、必ず多項式的または二次的 Dehn 関数をもつのか？
• RQ4 バーチャルにスペシャルな群は、無限個の閉曲面の写像類群に埋め込まれるか？
• RQ5 RAAG は指数関数的 Dehn 関数をもつ有限生成部分群を含むか？

主な発見

• 十分に高い genus の曲面に対して、写像類群の有限生成部分群の同型問題は決定不能である。
• 写像類群の有限生成部分群のうち、決定不能な共役問題およびメンバー問題をもつものが存在する。
• 写像類群の有限生成部分群は、双曲 3 構造の基本群に基づく構成により、指数関数的 Dehn 関数をもつことがある。
• 決定不能性の現象は、Torelli 部分群 already に存在する。RAAG の埋め込みは、それ自身 Torelli 部分群内に選べるからである。
• 写像類群の有限生成部分群は、無限個のねじれ元の共役類を含むことができ、これは torsion-free な Torelli 部分群には見られない性質である。
• すべてのバーチャルにスペシャルな群は、無限個の閉曲面の写像類群に埋め込まれる。これは、埋め込み可能な群の既知のクラスを顕著に拡張する。