[論文レビュー] On the subvarieties with nonsingular real loci of a real algebraic variety

Olivier Benoist|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的実代数的多様体における非特異的実局所を持つ部分多様体を調査し、次元がコドメインより小さい場合に、その類がコホコロジー群を生成することを確立している。また、同じ条件下で、このような部分多様体が実局所の滑らかな部分多様体を近似できることを示し、次元がコドメイン以上の場合には、コボルディズムとホモロジー類による鋭い障害を提供し、長年の Chow 群生成と実近似に関する未解決問題を解決している。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective real algebraic variety. We give new positive and negative results on the problem of approximating a submanifold of the real locus of $X$ by real loci of subvarieties of $X$, as well as on the problem of determining the subgroups of the Chow groups of $X$ generated by subvarieties with nonsingular real loci, or with empty real loci.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的実代数的多様体の Chow 群が、実局所に沿って滑らかである部分多様体の類によって生成される条件を特定すること。
• 実局所の滑らかな部分多様体が、非特異的実局所を持つ部分多様体の実局所によって近似可能かどうかを調査すること。
• Borel–Haefliger サイクル類写像の核を、実局所が空集合である部分多様体の類によって特徴づけること。
• 実代数的近似におけるホモロジー障害 $(H)$ とコボルディズム障害 $(B)$ が一致する条件を特定すること。
• 実代数幾何における近似、ホモロジー、コボルディズム障害の同値性に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 次元3を超える場合の特異点制御と実局所の制御を可能にするために、Hironaka の滑らか化技術を応用し、改良を加えた。
• Peskine–Szpiro および Huneke–Ulrich の連結理論を用いて、制御された実局所を持つ部分多様体を構成した。
• Rees–Thomas による二重点公式とチャーン類の可除性を用いて、Chow 群の生成を妨げる障害を特定した。
• Borel–Haefliger サイクル類写像を用いて、代数的サイクルと実ホモロジー類を関連づけた。
• Arf および Ragozini の同相定理を応用し、与えられた部分多様体を近似する滑らかな超曲面を構成した。
• コボルディズム理論と同型 $ MO_d(X(\bbR)) \cong (H_{d-2}(X(\bbR),\bbZ/2) \otimes MO_2) \oplus H_d^\mathrm{alg}(X(\bbR),\bbZ/2) $ を用いて、障害を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ、$\mathrm{CH}_d(X)$ が実局所に沿って滑らかな部分多様体の類によって生成されるか？
• RQ2 $X(\mathbb{R})$ の $\mathcal{C}^\infty$ 部分多様体は、非特異的実局所を持つ部分多様体の実局所によって近似可能か？
• RQ3 実代数的近似においてホモロジー障害 $(H)$ とコボルディズム障害 $(B)$ が一致するのはいつか？
• RQ4 非特異的実局所を持つ部分多様体が Chow 群を生成しない正確な条件は何か？
• RQ5 $d < c$ のとき、Borel–Haefliger の核は実局所が空集合である部分多様体の類によって生成されるか？

主な発見

• $d < c$ のとき、$\mathrm{CH}_d(X)$ は実局所に沿って滑らかな部分多様体の類によって生成され、Hironaka の結果が実代数幾何に拡張される。
• $d \geq c$ かつ $\alpha(c+1) \geq 3$ のとき、$\mathrm{CH}_d(X)$ がそのような類によって生成されない実代数的多様体 $X$（アーベル多様体）が存在し、$d < c$ 条件の最適性が示された。
• $\mathbb{C}$ 上では、同じ条件 $\alpha(c+1) \geq 3$ が、$\mathrm{CH}_d(X)$ が滑らかな部分多様体の類によって生成されない滑らかな射影的多様体をもたらす。
• $d < c$ のとき、Borel–Haefliger 写像の核は、実局所が空集合である部分多様体の類によって生成される。
• $d \leq 2$、または $c \leq 1$、または $d = 2$ かつ $c \geq 3$ のとき、ホモロジー障害 $(H)$ とコボルディズム障害 $(B)$ は同値である。
• $c = d = 2$ のとき、$(H)$ が成り立つが $(A)$ が成り立たない例が存在し、ホモロジー類が代数的であっても近似が障害を受けることが示された。