[論文レビュー] On the sum-of-squares degree of symmetric quadratic functions

Troy Lee, Anupam Prakash+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブール超立方体上での対称的二次関数 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ の、$\ell_\infty$ および $\ell_1$-ノルムにおける近似に必要な平方和（SOS）次数について、タイトな境界を確立する。$\ell_1$-近似におけるSOS次数は $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$ であることが証明され、この結果を用いて証明複雑性および量子クエリ複雑性分野における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study how well functions over the boolean hypercube of the form $f_k(x)=(|x|-k)(|x|-k-1)$ can be approximated by sums of squares of low-degree polynomials, obtaining good bounds for the case of approximation in $\ell_{\infty}$-norm as well as in $\ell_1$-norm. We describe three complexity-theoretic applications: (1) a proof that the recent breakthrough lower bound of Lee, Raghavendra, and Steurer on the positive semidefinite extension complexity of the correlation and TSP polytopes cannot be improved further by showing better sum-of-squares degree lower bounds on $\ell_1$-approximation of $f_k$; (2) a proof that Grigoriev's lower bound on the degree of Positivstellensatz refutations for the knapsack problem is optimal, answering an open question from his work; (3) bounds on the query complexity of quantum algorithms whose expected output approximates such functions.

研究の動機と目的

• ブール超立方体上での対称的二次関数 $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ を近似するための最小SOS次数を特定すること。
• これらの関数に対する $\ell_\infty$ および $\ell_1$-近似SOS次数のタイトな境界を確立すること。
• 複雑性理論における未解決問題を解決すること、特にナップサック問題に対するGrigorievのPositivstellensatz下界の最適性および多面体のSOS拡張への制限。
• このような対称関数を近似する量子アルゴリズムのクエリ複雑性に関する新たな境界を提供すること。

提案手法

• 一変数多項式技法および対称関数の恒等式を用いて、$f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ のSOS近似を分析する。
• Blekhermanの定理（非負多項式に関する）を適用し、$A_k(\mathbf{x}) = |\mathbf{x}|(|\mathbf{x}|-1)\cdots(|\mathbf{x}|-k+1)$ の低次のSOS表現を構成する。
• 恒等式 $A_{k+2}(\mathbf{x}) + b = g(\mathbf{x})(|\mathbf{x}| - r)$ に $b = -r(r-1)\cdots(r-k-1)$ を用いて、ナップサック系に対する次数 $2k+4$ のPositivstellensatz反証を構成する。
• モーメント行列と次数 $\leq d$ の単項式基底 $m_x$ を用いて、SOS近似問題を半正定値計画法の可解性問題に還元する。
• $\varepsilon = \delta 2^n$ に対応する平均誤差 $\delta$ を想定し、$\ell_1$-ノルム近似を $\sum_x |f(x) - h(x)| \leq \varepsilon$ として扱う。
• $e_k(x_1^2, \dots, x_n^2)$ が次数 $2k$ のSOSであるという事実を用い、$A_k$ を初等対称多項式および制約 $x_i^2 - x_i = 0$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの程度のSOS次数が、$\ell_\infty$-ノルムにおいて $f_k(x) = (|x| - k)(|x| - k - 1)$ を $\varepsilon$-近似するために必要か？
• RQ2 どの程度のSOS次数が、$\ell_1$-ノルムにおいて $f_k$ を $\varepsilon$-近似するために必要か？ また、$k$ と $n$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 Grigorievのナップサック系に対するPositivstellensatz反証の $2k+4$ 次下界はタイトか？
• RQ4 関数 $f_k$ のSOS次数を用いて、相関多面体やTSP多面体のような多面体のSDP階層への拡張の制限を示すことができるか？
• RQ5 これらのSOS境界は、対称関数を近似する量子アルゴリズムのクエリ複雑性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $f_k$ の $\ell_1$-近似SOS次数は $\Theta(\sqrt{k(n-k)})$ であり、関数の正確な次数と一致しており、境界のタイトさが示された。
• $f_k$ の $\ell_\infty$-近似SOS次数は $\Theta(\sqrt{k(n-k)} + \sqrt{n\log(1/\varepsilon)})$ であり、対称ブール関数の近似次数と類似している。
• Grigorievのナップサック系に対するPositivstellensatz反証の $2k+4$ 次下界は最適であり、次数 $2k+4$ の反証が実際に存在することが示された。
• $f_k$ のSOS次数を用いて、相関多面体およびTSP多面体の $\ell_1$-近似下界を、Lee, Raghavendra, Steurerが示した結果を上回って改善することはできない。
• これらの結果は、非適応的量子アルゴリズムが $f_k$ を近似する場合、$\Omega(\sqrt{k(n-k)})$ 個のクエリが必要であることを示唆しており、OR関数の既知の下界と一致する。
• $k < r < k+1$ の場合に次数 $2k+4$ のPositivstellensatz反証を構成したことは、Grigorievの境界のタイトさを裏付け、[Gri01] に提起された未解決問題を解決した。