[論文レビュー] On the support genus of a contact structure

M. Firat Arikan|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、接触3次元多様体を支持するオープンボクシング分解を構成するための改善されたアルゴリズムを紹介する。Girouxの接触セル分解を用いることで、従来の手法に比べてはるかに低い genus のページが得られる。接触セル分解の1スケルトンからリボンを構成することにより、支持 genus 不変量 $sg(\xi)$ の上界がタイトに抑えられ、右ねじ型のトーラスリンクに対しては6から3に、図8文字型の結び目に対しては10から3にまで低減される。

ABSTRACT

The algorithm given by Akbulut-Ozbagci constructs an explicit open book decomposition on a contact three-manifold described by a contact surgery on a link in the three-sphere. In this article, we will improve this algorithm by using Giroux's contact cell decomposition process. Our algorithm is more economical on choosing the supporting genus of the open book; in particular it gives a good upper bound for the recently defined ``minimal supporting genus invariant'' of contact structures.

研究の動機と目的

• タイトな接触3次元多様体の支持 genus 不変量 $sg(\xi)$ の上界を改善すること。
• Akbulut-Ozbagci や Stipsicz よりも効率的なアルゴリズムを提供し、より genus の小さいページを持つサポートオープンボクシングを構成すること。
• Girouxの接触セル分解を活用して、Legendrianフレーミングと接触構造の整合性を保ちつつ、より小さい genus のページを持つオープンボクシングを構成すること。
• 得られたオープンボクシングのページの genus が、従来の構成で用いられるトーラスリンクのSeifert曲面の genus よりも厳密に小さいことを示すこと。

提案手法

• Legendrianリンク $L$ が1スケルトン $G=\Delta^1$ に含まれるよう、$(S^3, \xi_{st})$ の接触セル分解 $\Delta$ を構成する。
• オープンボクシングのページ $F$ を、1スケルトン $G$ のリボンとして定義する。これは、トーラスリンクのSeifert曲面 $F_{p,q}$ の部分曲面である。
• スケルトンディスクと1ハンドルの注意深い構成により、$L$ の $F$ 上のフレーミングが接触フレーミング $tb(L)$ と一致するようにする。
• スケルトンディスクの境界曲線 $\gamma_k$ に沿った正のDehnねじり $t_{\gamma_k}$ を用いて、モノドロミー $h = t_{\gamma_1} \circ \cdots \circ t_{\gamma_n}$ を定義する。
• 定理2.5を適用して、$L$ における $\pm1$-接触手術によって得られる接触多様体へオープンボクシングを拡張し、ページ $F$ をそのままで保つ。
• 隣接する長方形を正方形ブリッジ図で統合することで、分解を最適化し、1ハンドルの数を減らし、結果として genus を低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触手術によって得られる接触3次元多様体に対して、トーラスリンクのSeifert曲面よりも小さい genus のページを持つ、より効率的なオープンボクシング分解を構成できるか？
• RQ2 Girouxの接触セル分解を用いることで、タイトな接触構造のための支持 genus $sg(\xi)$ の上界をより厳密に抑えられるか？
• RQ3 Legendrian型と接触フレーミングを保ちながら、$p>3$, $q>3$ の場合に、$g(F_{p,q})$ よりも厳密に小さい genus のページを持つオープンボクシングを構成できるか？
• RQ4 接触セル分解の1スケルトンのリボンの genus は、対応するトーラスリンクのSeifert曲面の genus と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 右ねじ型のLegendrianトーラスリンクに対して、新しい手法によりページ genus 3 のオープンボクシングが得られ、従来のSeifert曲面 $(5,5)$-トーラスリンクを用いた上界6を改善した。
• 図8文字型のLegendrian結び目に対しては、ページの genus が3にまで低減され、従来のSeifert曲面 $(6,6)$-トーラスリンクを用いた上界10を著しく改善した。
• $p>3$ かつ $q>3$ のとき、接触セル分解からのリボン $F$ の genus は $g(F_{p,q})$ よりも厳密に小さいことが確認され、$sg(\xi)$ の上界に対する厳密な改善が裏付けられた。
• 得られたオープンボクシングのモノドロミーは、曲線 $\gamma_k$ に沿った正のDehnねじりの合成 $t_{\gamma_1} \circ \cdots \circ t_{\gamma_n}$ で与えられ、標準接触構造と整合性を保つ。
• この構成は、Legendrianリンク $L$ の接触フレーミングを保ち、$L$ における接触 $(\pm1)$-手術が、同じページ $F$ を持つwell-definedなオープンボクシングを生成することを保証する。
• 接触セル分解の最適化とスケルトンディスクの統合を通じて、最小 genus のページを持つサポートオープンボクシングを体系的に構築する手法を提供する。