[論文レビュー] On the Support of Physical Measures in Gauge Theories

Christian Fleischhack|ArXiv.org|Sep 26, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 65被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元ゲージ理論における物理的ヤンミルズ測度が、アシュテカール＝ルワンドフスキーの運動論的測度に対して純粋に特異であることを証明しており、物理的測度を構成する標準的な指数型作用法則（exp(−S) × μ₀）が失敗することを示している。特異性は、物理的測度が運動論的測度とは異なるゲージ軌道空間の部分集合に支持されていることによるもので、構成空間を支持集合に分解することで明示的に示されている。

ABSTRACT

It is proven that the physical measure for the two-dimensional Yang-Mills theory is purely singular with respect to the kinematical Ashtekar-Lewandowski measure. For this, an explicit decomposition of the gauge orbit space into supports of these two measures is given. Finally, the results are extended to more general (e.g. confining) theories. Such a singularity implies, in particular, that the standard method of determining the physical measure via ``exponential of minus the action times kinematical measure'' is not applicable.

研究の動機と目的

• 2次元ゲージ理論における物理的ヤンミルズ測度と運動論的アシュテカール＝ルワンドフスキー測度の関係を特定すること。
• 物理的測度を exp(−S) × μ₀ の形で構成する標準的手法が有効かどうかを検討すること。
• 物理的測度のサポート構造とその量子化への影響を分析すること。
• 結果をより一般的な（例えば、閉じ込め型の）ゲージ理論に拡張すること。

提案手法

• ゲージ軌道空間を、アシュテカール＝ルワンドフスキー測度とヤンミルズ測度のそれぞれのサポートを形成する互いに素な部分集合に明示的に分解する。
• 一般化接続とホロノミー代数の射影極限構成を用いて、一般化接続空間上の運動論的測度 μ₀ を定義する。
• ウィルソンループ変数とホロノミー写像を用い、格子測度の弱極限として物理的測度 μ_YM を定義する。
• 構造群 G の単位元まわりの Ad 不変ノルムと近傍を用いて、μ₀-零集合を構成し、滑らかな接続を捉える。
• 共通の交わりを持つ縮小するループの列を用いて、すべての滑らかな接続を含む μ_YM-零集合を構成し、滑らかな接続の μ_YM 測度がゼロであることを証明する。
• 両方の測度が同じ構成空間上で定義されているにもかかわらず、物理的測度が μ₀ のサポートと不交和である集合に支持されていることを示すことで、特異性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的ヤンミルズ測度は、アシュテカール＝ルワンドフスキー測度に対して絶対連続的か？
• RQ2 物理的測度は、ヤンミルズ作用の指数乗を運動論的測度に乗じることで構成可能か？
• RQ3 2次元ヤンミルズ理論における物理的測度のサポート構造は何か？
• RQ4 滑らかな接続のサポートは物理的測度とどのように関係するか？
• RQ5 これらの結果は、閉じ込め型のゲージ理論を含むより一般的なゲージ理論に拡張可能か？

主な発見

• 物理的ヤンミルズ測度 μ_YM は、アシュテカール＝ルワンドフスキー測度 μ₀ に対して純粋に特異的であり、互いに特異的である。
• μ_YM のサポートは一般接続に含まれるが、μ₀ は一般接続と非一般接続の両方の部分集合に全測度を割り当てており、μ_YM は非一般接続および滑らかな接続部分集合にゼロ測度を割り当てる。
• 滑らかな接続の集合は μ_YM-零集合であるため、物理的状態は滑らかなゲージ場によって表現されない。
• 測度 μ_YM は、μ₀ のサポートと不交和であるゲージ軌道空間の部分集合に支持されているため、特異性が確認された。
• 測度が互いに絶対連続でないため、標準的構成 μ_YM = exp(−S_YM) dμ₀ は無効である。
• 結果は、閉じ込め型を含むより一般的なゲージ理論に拡張可能であり、物理的測度におけるこのような特異性は、ゲージ理論における一般的特徴であることが示唆される。