[論文レビュー] On the symmetric subscheme of Hilbert scheme of points

Kyungyong Lee|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2007

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ に対して、$ ext{Hilb}^{d+1}(/mathbb{C}^d)$ の最も対称的なアフィン開部分スキーム $U$ の明示的な代数的記述を提供し、それがシュール加群上の対称代数の商と同型であることを示している。シュール加群とリトルウッド＝リチャードソン則を用いて、$U$ のヒルベルト関数と次元を解析することで、$ ext{Hilb}^n(/mathbb{C}^d)$ が $n > d \geq 12$ のとき非連結であることを証明している。主な貢献は、シュール加群とイデアル射影子を用いた幾何学的および表現論的特徴付けである。

ABSTRACT

We consider the Hilbert scheme Hilb^{d+1}(C^d) of (d+1) points in affine d-space C^d (d > 2), which includes the square of any maximal ideal. We describe equations for the most symmetric affine open subscheme of Hilb^{d+1}(C^d), in terms of Schur modules. In addition we prove that Hilb^{d+1}(C^d) is reducible for n>d>11.

研究の動機と目的

• $d \geq 3$ に対して、$ ext{Hilb}^{d+1}(\mathbb{C}^d)$ の最も対称的なアフィン開部分スキーム $U$ の方程式を記述すること。
• $\text{Hilb}^n(\mathbb{C}^d)$ が $n > d \geq 12$ のとき非連結であることを、非根号的イデアルの高次元族の構成により証明すること。
• シュール加群とリトルウッド＝リチャードソン則を用いた表現論的枠組みを提供し、$U$ のヒルベルト関数を解析すること。
• $\mathbb{C}[\mathbf{x}]$ の高次元単項式基底への $U$ の記述の一般化を予想すること。

提案手法

• 対称的なアフィン部分スキーム $U$ は、$\text{Hilb}^{d+1}(\mathbb{C}^d)$ の開部分集合として定義され、$\{1, x_1, \dots, x_d\}$ が $\mathbb{C}[\mathbf{x}]/I$ において $\mathbb{C}$-基底をなすことで、最大対称性を保証する。
• その座標環は、$V$ を $d$ 次元の $\mathbb{C}$-ベクトル空間として、$\mathbb{C}^d \times \text{Spec}\left(\frac{\text{Sym}^\bullet(\mathbb{S}_{(3,1,1,\dots,1,0)}V)}{\langle \mathbb{S}_{(4,3,2,\dots,2,1)}V \rangle}\right)$ と記述される。
• 商環の構造を定義するために、単射なホモモーフィズム $j: \mathbb{S}_{(4,3,2,\dots,2,1)}V \hookrightarrow \text{Sym}^2(\mathbb{S}_{(3,1,1,\dots,1,0)}V)$ が用いられる。
• ヒルベルト関数 $H(r)$ はリトルウッド＝リチャードソン則を用いて下から抑えられ、任意の $k=0,\dots,d-1$ に対して $H(r)$ が $\mathcal{O}(r^{k\binom{d-k}{2}})$ よりも速く成長することを示し、高次元性を示している。
• $d \times (d+1)$ 行列とイデアル射影子を用いたイデアル族の構成により、$d=13$ のとき $193$ 次元の族が得られ、根号的成分の閉包の次元 $182$ を上回る。
• $d=12$ のとき、$156$ 次元の族が構成され、根号的成分の次元と一致するが、それ自身はその中に含まれないため、非連結性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \geq 3$ に対して、$ ext{Hilb}^{d+1}(\mathbb{C}^d)$ の最も対称的なアフィン開部分スキーム $U$ の代数的構造は何か？
• RQ2 $\text{Hilb}^n(\mathbb{C}^d)$ が $n > d \geq 12$ のとき、非根号的イデアルの明示的構成により非連結であることを示せるか？
• RQ3 $U$ の座標環のヒルベルト関数 $H(r)$ はどのように成長し、これは $U$ の次元にどのような意味を持つのか？
• RQ4 $U$ を定義する方程式は、$\mathbb{C}[\mathbf{x}]$ の高次元単項式基底へ一般化可能か？
• RQ5 $\mathbb{S}_{(4,3,2,\dots,2,1)}V$ が生成するイデアルと $U$ の主成分（根号的成分）との関係は何か？

主な発見

• 対称的なアフィン部分スキーム $U \subset \text{Hilb}^{d+1}(\mathbb{C}^d)$ は、$\mathbb{C}^d \times \text{Spec}\left(\frac{\text{Sym}^\bullet(\mathbb{S}_{(3,1,1,\dots,1,0)}V)}{\langle \mathbb{S}_{(4,3,2,\dots,2,1)}V \rangle}\right)$ と同型であり、シュール加群による明示的な代数的記述が得られた。
• $d=13$ のとき、$193$ 次元のイデアル族が構成され、根号的成分の閉包の次元 $182$ を上回るため、$d \geq 13$ のとき $U$ が非連結であることが証明された。
• $d=12$ のとき、$156$ 次元のイデアル族が構成され、根号的成分の次元と一致するが、それ自身はその中に含まれないため、$d=12$ でも非連結性が証明された。
• 商環のヒルベルト関数 $H(r)$ は、$r \geq 2$, $k=0,\dots,d-1$ に対して、$H(r) \geq \sum_{\lambda: \lambda_{d-k}+\cdots+\lambda_d \leq rk} m_\lambda \cdot \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{S}_\lambda$ を満たし、多項式より速い成長を示唆している。
• $\mathbb{S}_{(3,1,1,\dots,1,0)}V$ の次元は $d\binom{d+1}{2} - d$、$\mathbb{S}_{(4,3,2,\dots,2,1)}V$ の次元は $\frac{d^2(d^2 - 4)}{3}$ であり、これらを用いて $H(1)$ と $H(2)$ を明示的に計算した。
• $d=3$ に対して、ヒルベルト多項式 $\tilde{H}(r)$ がすべての $r \geq 0$ で $H(r)$ と一致するという予想が検証され、$d=4,5$ に対してもマカウレイ2による計算で成立が確認された。