[論文レビュー] On the symmetry classes of the first covariant derivatives of tensor fields

Bernd Fiedler|ArXiv.org|Jan 6, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リトルウッド・リチャードソン積とヤング射影を用いて、テンソル場の第一順変換の対称性クラスを特徴づける。∇S − sym(∇S) と ∇A − alt(∇A) の対称性クラスは、それぞれヤングフレーム (r,1) と (2,1^{r−1}) に対応し、後者はヤング射影によって生成可能であるが、前者は生成可能でないことが示され、代数的共変微分曲率テンソルの主要な生成子を提供する。

ABSTRACT

We show that the symmetry classes of torsion-free covariant derivatives $ abla T$ of r-times covariant tensor fields T can be characterized by Littlewood-Richardson products $σ[1]$ where $σ$ is a representation of the symmetric group $S_r$ which is connected with the symmetry class of T. If $σ= [λ]$ is irreducible then $σ[1]$ has a multiplicity free reduction $[λ][1] = \sum [μ]$ and all primitive idempotents belonging to that sum can be calculated from a generating idempotent e of the symmetry class of T by means of the irreducible characters or of a discrete Fourier transform of $S_{r+1}$. We apply these facts to derivatives $ abla S$, $ abla A$ of symmetric or alternating tensor fields. The symmetry classes of the differences $ abla S - sym( abla S)$ and $ abla A - alt( abla A)$ are characterized by Young frames (r, 1) and (2, 1^{r-1}), respectively. However, while the symmetry class of $ abla A - alt( abla A)$ can be generated by Young symmetrizers of (2, 1^{r-1}), no Young symmetrizer of (r, 1) generates the symmetry class of $ abla S - sym( abla S)$. Furthermore we show in the case r = 2 that $ abla S - sym( abla S)$ and $ abla A - alt( abla A)$ can be applied in generator formulas of algebraic covariant derivative curvature tensors. For certain symbolic calculations we used the Mathematica packages Ricci and PERMS.

研究の動機と目的

• r回共変テンソル場 T の第一共変微分 ∇T の対称性クラスを特徴づけること。
• 特定のヤングフレームに対するヤング射影が、∇S − sym(∇S) と ∇A − alt(∇A) の対称性クラスを生成可能かどうかを同定すること。
• これらの結果を代数的共変微分曲率テンソルの生成子公式に応用すること。
• Mathematica パッケージ Ricci と PERMS を用いた明示的な計算ツールと記号的検証を提供すること。

提案手法

• 対称群 𝕊r の表現論を用い、T の対称性クラスと ∇T の対称性クラスをリトルウッド・リチャードソン積 σ[1] を介して関連付ける。ここで σ は T の対称性クラスに対応する。
• 𝕊r+1 上の非可約指標と離散フーリエ変換を用いて、∇T の対称性クラスの原始的イデムポテンツを計算する。
• ヤングフレーム (r,1) と (2,1^{r−1}) に関連するヤング射影を用いて、∇S − sym(∇S) と ∇A − alt(∇A) の対称構造を分析する。
• Mathematica パッケージ Ricci と PERMS を用いた記号的計算により、r=2,3,4 の場合に結果を検証する。
• イデムポテンツ h_a（𝕊r+1 の対称化子）がヤング射影 e_t に作用する際、それが h_a を消滅させるか保存するかを同定する。
• 群代数の元とイデムポテンツを用いて f·h_s と f·h_a の明示的表現を導出し、∇S − sym(∇S) の対称性クラスに非自明な構造が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤングフレーム (r,1) のヤング射影が、∇S − sym(∇S) の対称性クラスを生成可能か？
• RQ2 ヤングフレーム (2,1^{r−1}) のヤング射影が、∇A − alt(∇A) の対称性クラスの生成子として適切か？
• RQ3 σ が非可約であるとき、リトルウッド・リチャードソン積 σ[1] は ∇T の対称性クラスをどのように記述するか？
• RQ4 T の対称性クラスの生成イデムポテンツ e が、∇T の対称性クラスのイデムポテンツを構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 ∇S − sym(∇S) と ∇A − alt(∇A) は、代数的共変微分曲率テンソルの生成子として機能可能か？

主な発見

• ∇A − alt(∇A) の対称性クラスはヤングフレーム (2,1^{r−1}) に対応し、対応するヤング射影によって生成可能である。
• ∇S − sym(∇S) の対称性クラスはヤングフレーム (r,1) に対応するが、このフレームのヤング射影ではそのクラスを生成できない。
• r=2 の場合、∇S − sym(∇S) と ∇A − alt(∇A) の両方が、代数的共変微分曲率テンソルの生成式に使用可能である。
• r=2 の場合、対称化子 h_a がフレーム (2,1^{r−1}) のヤング射影 e_t に作用する際、6つの表にうち2つで h_a·e_t = h_a が成り立ち、r=3 や r=4 の場合にも同様のパターンが成立する。
• PERMS を用いた記号的計算により、r=4 の場合、24個の表で h_a·e_t = h_a が成り立ち、72個で h_a·e_t = 0 となることが確認され、生成行動の非一様分布が示された。
• f·h_a = z·e_a − f_a という式から f·h_a ≠ 0 であることが示され、∇A − alt(∇A) の対称性クラスが非自明であり、イデムポテンツ f によって消滅しないことが確認された。