[論文レビュー] On the Symplectic Reduced Space of Three-Qubit Pure States

Saeid Molladavoudi|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、三量子ビット純状態の射影ヒルベルト空間に局所ユニタリ（LU）群作用を施したもとで、特異シンプレクティック還元を適用し、単粒子状態行列の固有値が固定されたときの、還元空間の主要ストラトムにおけるシンプレクティック構造を導出する。主な安定化部分群に関しての局所正規形を構成するための基準を確立し、低次元ストラトムが孤立点であることを示し、元の多様体における相対的平衡状態に対応する。

ABSTRACT

Given a specific spectra of the single-particle reduced density matrices of three qubits, the singular symplectic reduction method is applied to the projective Hilbert space of tripartite pure states, under the local unitary group action. The symplectic structure on the principal stratum of the symplectic quotient is obtained. A criterion from which the elements of the local normal model of the principal stratum can be constructed up to an equivalence relation and also the components of the reduced Hamiltonian dynamics on it are investigated. It is discussed that other lower dimensional strata are isolated points and so they are the fixed points of every reduced Hamiltonian flow, i.e. relative equilibria on the original manifold.

研究の動機と目的

• 三量子ビット純状態の軌道空間の幾何学的・位相的性質を、シンプレクティック還元を用いて研究すること。
• 内部のモーメントポリトープにおける固定されたモーメントマップ値に対して、シンプレクティック商の主要ストラトムにおけるシンプレクティック構造を導出すること。
• 主な安定化部分群の作用に関して、主要ストラトムにおける局所正規形の要素を構成するための基準を確立すること。
• 主要ストラトムにおける還元ハミルトニアン力学を分析し、低次元ストラトムにおける力学を特徴づけること。
• 低次元ストラトムが孤立点であることを示し、元の多様体における相対的平衡状態に対応すること。

提案手法

• Kähler多様体 $\mathcal{P}(\mathcal{H})$、すなわち三量子ビット純状態の射影ヒルベルト空間に、$K = SU(2)^{\times 3}$ の適切かつハミルトニアンな作用を施し、特異シンプレクティック還元を適用する。
• 各成分が単粒子状態行列の（シフトされた）固有値を符号化するモーメント写像 $\mathbf{J}: \mathcal{P}(\mathcal{H}) \to \mathfrak{k}^*$ を用いる。
• 正則値 $\xi \in \text{int}(\Delta)$ に注目する。ここで $\Delta$ はモーメントポリトープであり、主要ストラトム $M^{(\text{prin})}_{\xi} = \mathbf{J}^{-1}(\xi)/K_\xi$ を定義する。
• 特異還元に適応されたマーラン・ウエインスタイン還元の技術を用いて、主要ストラトムにおけるシンプレクティック形式 $\omega^{(\text{prin})}_{\xi}$ を導出する。
• 方程式 (4.11) から得られる基準を用いて、主な安定化部分群による自由作用を除いた主要ストラトムにおける局所正規モデルの要素を生成する。
• 滑らかな関数 $f^{(\text{prin})}_{\xi} \in C^\infty(M^{(\text{prin})}_{\xi})$ を介して誘導される還元ハミルトニアン力学を調査し、それに対応するハミルトニアンベクトル場を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三量子ビット純状態のLU作用におけるシンプレクティック商の主要ストラトムにおけるシンプレクティック構造は何か？
• RQ2 主な安定化部分群の作用に関して、主要ストラトムにおける局所正規形をどのように構成できるか？
• RQ3 主要ストラトムにおける還元ハミルトニアン力学の性質は何か？
• RQ4 低次元ストラトムがシンプレクティック商において果たす幾何学的・力学的役割は何か？
• RQ5 低次元ストラトムにおけるシンプレクティック構造は、主要ストラトムのそれとどのように関係するか？

主な発見

• モーメントポリトープの内部 $\text{int}(\Delta)$ における $\xi$ に対して、主要ストラトム $M^{(\text{prin})}_{\xi}$ におけるシンプレクティック構造 $\omega^{(\text{prin})}_{\xi}$ が明示的に導出された。
• 方程式 (4.11) は、主な安定化部分群による自由作用を除いた主要ストラトムにおける局所正規モデルの要素を生成するための構成的基準を提供する。
• 還元ハミルトニアン関数 $f^{(\text{prin})}_{\xi}$ 及びそれに対応するハミルトニアンベクトル場は、主要ストラトム上で完全に特徴づけられた。
• すべての低次元ストラトム $M^{(H)}_{\xi}$（$H_{(\text{prin})} \neq H < K$）は、次元がゼロ、すなわち孤立点である。
• これらの孤立点は、すべての還元ハミルトニアンフローの不動点であり、元の多様体 $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ における相対的平衡状態に対応する。
• 主要ストラトムにおけるシンプレクティック構造は、階層的シンプレクティック空間の枠組みを通じて、すべての低次元ストラトムにおけるポincareおよびシンプレクティック構造を完全に決定する。