[論文レビュー] On the Tanaka formula for the derivative of self-intersection local time of fBm

Paul Jung, Greg Markowsky|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分数ブラウン運動（fBm）の自己交叉局所時間の導関数（DSLT）を、是正されたウィener混沌展開を用いて再定義し、先行研究における不整合を解消する。fBmに対して厳密なタンカの公式を確立し、以前の形式的恒等式を是正し、分数白色ノイズ積分のフビニの定理を証明する。これにより、fBm解析における2次モーメントの上限についても示唆が得られる。

ABSTRACT

The derivative of self-intersection local time (DSLT) for Brownian motion was introduced by Rosen and subsequently used by others to study the $L^2$ and $L^3$ moduli of continuity of Brownian local time. A version of the DSLT for fractional Brownian motion (fBm) has also appeared in the literature. In the present work, we further its study by proving a Tanaka-style formula for it. In the course of this endeavor we provide a Fubini theorem for integrals with respect to fBm. The Fubini theorem may be of independent interest, as it generalizes (to Hida distributions) similar results previously seen in the literature. Finally, we also give an explicit Wiener chaos expansion for the DSLT of fBm

研究の動機と目的

• 『YYL08』で提示された、伊藤の公式の誤った適用に依存する、分数ブラウン運動（fBm）の自己交叉局所時間の導関数（DSLT）の誤った定義を是正すること。
• 明示的なウィナーハイゼン展開を用いて、fBmのDSLTの数学的に厳密な形を確立し、存在性と適切な収束を保証すること。
• 先行研究における形式的恒等式の曖昧さ、特に以前の定式化における欠落した定数項を是正する、正しいタンカの公式を導出し、証明すること。
• Hida分布の文脈に一般化した古典的結果を拡張し、分数ブラウン運動に関する積分のフビニ型定理を証明すること。
• 『Hu01』で以前に提示されたfBmの重要な2次モーメントの上限を是正し、その後続の解析の技術的基盤を強化すること。

提案手法

• 対称的切断を用いた局所時間の導関数の再定義により、fBmの修正されたDSLTを導入し、確率積分の原則と整合性を保つ。
• 一般化されたウィナーファンクショナルのハイゼン分解を活用して、修正されたDSLTの存在をウィナーハイゼン展開を用いて証明する。
• 確率積分と経路積分の順序交換を厳密に正当化することで、fBmのタンカの公式を導出し、定数項をtからt/2に是正する。
• Hida分布の文脈に一般化した、分数白色ノイズに関する積分のフビニ定理を証明し、積分順序の交換を可能にする。
• ヤングの不等式と3変数の積分推定を用いて、DSLTの2次モーメントを評価し、H ∈ (0, 2/3) の臨界領域において可積分性を保証する。
• 対称性とスケーリングの議論を適用し、タンカの公式における正しい定数項がt/2であることを示し、異なるインジケータ関数を用いた先行研究との不整合を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 先行研究の定義が伊藤の公式の誤った適用に依存している以上、分数ブラウン運動（fBm）の自己交叉局所時間の導関数（DSLT）の正しい定式化は何か？
• RQ2 文献における異なる形式的恒等式の不整合を解消するには、fBmのタンカの公式において定数項を正しく扱うにはどうすればよいか？
• RQ3 特にH ∈ (0, 2/3) の臨界範囲において、fBmのDSLTの存在性と可積分性を保証するには、ハースパラメータHにどのような条件が必要か？
• RQ4 Hida分布とウィナーハイゼン展開の文脈において、分数ブラウン運動に関する積分のフビニ型定理を確立できるか？
• RQ5 『Hu01』で提示されたfBmの2次モーメントの上限を、DSLTおよび関連する確率過程の解析において有効に保つために、どのように是正できるか？

主な発見

• 本稿では、明示的なウィナーハイゼン展開を用いて、fBmの是正されたDSLTの存在を確立し、先行研究における基礎的問題を解消した。
• fBmの正しいタンカの公式には、定数項t/2が含まれることが証明され、以前の形式的恒等式における誤ったtまたは0の項が是正された。
• 分数白色ノイズに関する積分のフビニ定理が厳密に証明され、古典的結果を一般化し、確率積分における積分順序の交換を可能にした。
• 『Hu01』で提示されたfBmの2次モーメントの上限が是正され、H ∈ (0, 2/3) のパラメータ領域において、DSLTの解析において有効に保証された可積分性を示した。
• 解析により、DSLTが時刻と空間に関して連続であることが示され、また、α′_t(y) + sgn(y)t が適切に定義され、平方可積分であることが示された。
• 証明により、定数項t/2が局所時間積分の対称性に起因し、A(t, B_t) の期待値を計算することで、t/2として確認された。