[論文レビュー] On the theory of higher rank Euler, Kolyvagin and Stark systems, III: applications

David Burns, Ryotaro Sakamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Gorenstein環上のp進ガロア表現に対して、Euler系とKolyvagin系の間の標準的な高次Kolyvagin導来準同型を確立し、Selmer加群の構造を制御する手法を提供するとともに、等変Tamagawa数予想を非等変なものに還元する戦略を提示する。この理論を数体上の乗法的群およびQのアーベル拡大上の楕円曲線に適用し、KatoのEuler系を用いてBirchとSwinnerton-Dyer予想の新たなケースを証明する。

ABSTRACT

In an earlier article we proved the existence of a canonical Kolyvagin derivative homomorphism between the modules of Euler and Kolyvagin systems (in any given rank) that are associated to $p$-adic representations over number fields. We now explain how the existence of such a homomorphism leads to new results on the structure of the Selmer modules of Galois representations over Gorenstein orders and to a strategy for verifying (refinements of) the Tamagawa number conjecture of Bloch and Kato. We describe concrete applications relating to the multiplicative group over arbitrary number fields and to elliptic curves over abelian extensions of the rational numbers.

研究の動機と目的

• Gorenstein環上のSelmer加群を制御するため、高ランクEuler、Kolyvagin、Stark系の理論を拡張すること。
• ガロアコホロジー複体の行列式加群を用いて、等変Tamagawa数予想を非等変なものに還元する戦略を開発すること。
• 具体的な算術的設定に理論を適用すること：数体上の乗法的群およびQのアーベル拡大上の楕円曲線。
• KatoのEuler系を用いて、Bloch-KatoのTamagawa数予想の修正版および等変BirchとSwinnerton-Dyer予想を検証すること。

提案手法

• MazurとRubinの標準的仮定のもとで、Euler系とKolyvagin系の間の標準的高次Kolyvagin導来準同型を構成する。
• 標準的仮定が[9]における一般理論に必要なすべての条件を満たすことを証明し、Gorenstein環上のSelmer加群への応用を可能にする。
• ガロアコホロジー複体の行列式加群を用いて、離散付値環上での等変Tamagawa数予想を非等変なものに還元する。
• 乗法的群に理論を適用する際、Bloch-Katoの要素とそれらのコホロジーへの像を分析する。
• Katoのゼータ要素およびそれらから導かれるKolyvagin系を用いて、Selmer群のFittingイデアルを制御する。
• Nakayamaの補題およびFittingイデアルの基準を用いて、等変BSD予想における等号条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次Kolyvagin導来準同型が全射となる条件は何か。これにより、Euler系の導関数を用いてSelmer加群の構造が制御可能となる。
• RQ2 行列式法とガロアコホロジー複体を用いて、等変Tamagawa数予想を非等変ケースに還元できるか。
• RQ3 Qのアーベル拡大の文脈において、KatoのEuler系がどれほどSelmer群のFittingイデアルを制御できるか。
• RQ4 Q上でのBSD予想の正当性が、Kolyvagin系を組み合わせることで、アーベル拡大上での同様の結果を導くか。
• RQ5 双対Selmer群のFittingイデアルがKatoのEuler系の像によって生成されるための条件は何か。

主な発見

• 高次Kolyvagin導来準同型が全射であることは、双対Selmer群のFittingイデアルがEuler系の導関数の像によって生成されることと同値であり、構造制御の明確な基準を提供する。
• MazurとRubinの標準的仮定は、高ランク系の一般理論に必要なすべての条件を満たしており、Gorenstein環上のSelmer加群への広範な適用を可能にする。
• 等変コア頂点の存在は明示的なコホロロジー的条件によって特徴付けられ、等変Kolyvagin系理論の構築を可能にする。
• Qのアーベル拡大F上の楕円曲線Eに対して、Selmer群のFittingイデアルは、Katoのゼータ要素の像によって生成される。ただし、E(F)のランクが1より大きい場合に限る。
• Q上でのBSD予想の正当性が、KatoのEuler系と導関数をとったKolyvagin系と組み合わせられれば、F上でのFittingイデアルの等号が成立する。
• 条件(c)、(d)、(e)のもとで、等変BirchとSwinnerton-Dyer予想が検証される。これには、Q上でのBSD予想の正当性および基本体におけるKato要素とBSD要素の一致を仮定する。