[論文レビュー] On the third moment of $L( frac{1}{2}, \chi_d)$ II: the number field case

Adrian Diaconu, Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体設定における二次的ディリクレL関数の中心的臨界値における三番目のモーメントについて、滑らか化された漸近公式を確立する。複数のディリクレ級数のmeromorphicな拡張と、D4根系に付随する関数方程式を用いて、$x^{3/4}$ のサイズの二次的項の存在を証明し、$s = 3/4$ における正確な留数計算と、任意の $ olde > 0$ に対して $O(x^{2/3 + olde})$ の誤差項を得る。これにより、L関数のモーメントにおける二次的項に関する長年の予想が裏付けられる。

ABSTRACT

We establish a smoothed asymptotic formula for the third moment of quadratic {D}irichlet $L$-functions at the central value. In addition to the main term, which is known, we prove the existence of a secondary term of size $x^{\frac{3}{4}}$. The error term in the asymptotic formula is on the order of $O(x^{\frac{2}{3}+\delta})$ for every $\delta > 0.$

研究の動機と目的

• 数体における基本的判別式の上での中心的値 $L(\frac{1}{2}, \chi_d)$ の三番目のモーメントの滑らか化された漸近公式を確立すること。
• 漸近展開における $x^{3/4}$ サイズの二次的項の存在を証明すること。これは以前に予想されてはいたが、厳密に確立されていなかった。
• 生成関数 $Z_0(s)$ のmeromorphicな拡張における $s = 3/4$ における正確な留数を計算し、二次的項の主要な構成要素を解明すること。
• Weyl群が $D_4$ に同型である関数方程式を有する複数のディリクレ級数の枠組みを、より高いモーメントおよびその二次的項を分析するために拡張すること。
• meromorphicな拡張や多項式的成長に関する従来の仮定を排除し、より弱い仮定のもとで結果を無条件に確立すること。

提案手法

• 著者らは、$d$ を割る素数における修正されたEuler因子を備えた四変数の複数のディリクレ級数 $Z(s_1,s_2,s_3,s_4; \chi_{a_2c^2}, \chi_{a_1c^1})$ を定義し、これは $D_4$ 根系のWeyl群に同型な関数方程式を満たす。
• Bochnerの原理を用いて、この級数が $\mathbb{C}^4$ 全体にかけてmeromorphicに拡張可能であることを確立し、$Z(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, s)$ が $s = \frac{3}{4}$ に単一の極を持つことを示唆する。
• 級数 $Z_0(s)$ は、この対象の二次的捩れとして得られ、スペクトル分解と収束推定を用いて $\Re(s) > \frac{2}{3}$ におけるmeromorphicな拡張が確立される。
• $s = \frac{3}{4}$ における留数は、奇素数上のEuler的因数分解を用いて計算され、$p \neq 2$ における $p^{-1/2}$ の有理関数の積として得られ、$P(p^{-1/2})$ に簡約される。
• 滑らか化された和 $\sum_d L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x)$ にMellin逆変換公式を適用し、積分線を $\Re(s) = \frac{2}{3} + \delta$ にシフトすることで、主要項と二次的項を抽出する。
• Mellin変換 $\hat{W}(s)$ の推定と、$Z_0(s)$ の垂直帯における成長の推定を用いて誤差項を制御し、$O(x^{2/3 + \delta})$ であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らか化された二次的ディリクレL関数の三番目のモーメントにおける中心点で、$x^{3/4}$ サイズの二次的項が存在するか。
• RQ2 $s = \frac{3}{4}$ における生成関数 $Z_0(s)$ の正確な留数は何か。また、奇素数の算術的性質とどのように関係しているか。
• RQ3 meromorphicな拡張や多項式的成長を仮定せずに、このような二次的項の存在を無条件に証明できるか。
• RQ4 $D_4$ 対称性を持つ複数のディリクレ級数の関数方程式は、高次のモーメントにおける二次的項の出現をどのように説明するか。
• RQ5 $x^{3/4}$ における二次的項は高次のモーメントの一般的な特徴であるか。また、群論的構造から予測可能であるか。

主な発見

• 生成関数 $Z_0(s)$ は $\Re(s) > \frac{2}{3}$ にかけてmeromorphicに拡張可能であり、$s = 1$ に7位の極、$s = \frac{3}{4}$ に単一の極を持つ。
• $s = \frac{3}{4}$ における留数は $\frac{9}{256\pi^2} \cdot \frac{1}{4}(-181 + 128\sqrt{2}) \Gamma(\frac{1}{4})^4 \zeta(\frac{1}{2})^7 \cdot \prod_{p \neq 2} P(p^{-1/2})$ として計算され、$P(p^{-1/2})$ は明示的に与えられる。
• 滑らか化された三番目のモーメントは、任意の $ olde > 0$ に対して $\sum_{d^*} L(\frac{1}{2}, \chi_{2d})^3 W(d/x) = x Q_W(\log x) + \mathrm{Res}_{s=3/4} Z_0(s) \cdot \hat{W}(3/4) x^{3/4} + O_{\nolde}(x^{2/3 + \nolde})$ を満たす。
• 誤差項は $O_{\nolde}(x^{2/3 + \nolde})$ であり、Young (2013) が得た $O(x^{3/4 + \varepsilon})$ よりも改善されている。
• 二次的項は無条件に確認され、その留数は Zhang (2016) の予測と一致し、奇素数に関する積についても完全に一致する。
• この結果により、$D_4$ の関数方程式構造から生じる $x^{3/4}$ サイズの二次的項が、複数のディリクレ級数の構成の副産物ではなく、本質的なものであることが確認される。