[論文レビュー] On the three-circle theorem and its applications in Sasakian manifolds

Shu-Cheng Chang, Yingbo Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トータルねじれがゼロで、擬エリューディアン・セクショナル曲率が非負である、完備非コンパクトな擬エリューディアン多様体に対して、CR 三円定理を確立し、多項式的成長を示すCR正則関数の空間に対する鋭い次元推定を証明し、最初のCR Yauの均質化予想を確認した。結果は、CRサブラプラシアン比較定理に依拠しており、Kähler理論の主要な結果をCR設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

This paper mainly focuses on the CR analogue of the three-circle theorem in a complete noncompact pseudohermitian manifold of vanishing torsion being odd dimensional counterpart of Kähler geometry. In this paper, we show that the CR three-circle theorem holds if its pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. As an application, we confirm the first CR Yau's uniformization conjecture and obtain the CR analogue of the sharp dimension estimate for CR holomorphic functions of polynomial growth and its rigidity when the pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. This is also the first step toward second and third CR Yau's uniformization conjecture. Moreover, in the course of the proof of the CR three-circle theorem, we derive CR sub-Laplacian comparison theorem. Then Liouville theorem holds for positive pseudoharmonic functions in a complete noncompact pseudohermitian (2n+1)-manifold of vanishing torsion and nonnegative pseudohermitian Ricci curvature.

研究の動機と目的

• トータルねじれがゼロである擬エリューディアン多様体における三円定理のCR版を確立すること。
• 非負の擬エリューディアン・セクショナル曲率のもとで、最初のCR Yauの均質化予想を確認すること。
• CR設定において、多項式的成長を示すCR正則関数の空間に対する鋭い次元推定を導出すること。
• 第二および第三のCR Yauの均質化予想の基盤を築くために、基礎的な比較および凸性に関する結果を証明すること。
• 非負の擬エリューディアン・リッチ曲率のもとで、正の擬調和関数に対するLiouville型定理を拡張すること。

提案手法

• 曲率の仮定と形式 $ u(r) = \frac{1}{2r} + \frac{A}{(1+r)^{1+\epsilon}} $ の補助関数を用いて、CRサブラプラシアン比較定理を導出する。
• Hessian比較原理と最大原理をCR設定に適応し、$ \log M_f(r) $ が $ \log r $ に関して凸であることを確立する。
• Poincaré-Siegel写像を用いて、次数 $ d $ のCR正則関数の空間を有限次元複素空間へ埋め込む。
• 成長率を制御するための比較関数 $ h(r) $ を構成し、$ h'(r) = \frac{\exp\left(\frac{2A}{\epsilon(1+r)^\epsilon}\right)}{r} \exp\left(-\frac{2A}{\epsilon}\right) $ を満たすようにする。
• CR三円定理を適用して、$ \frac{M_f(r)}{\exp(dh(r))} $ が増加することを示し、$ M_f(r) $ の下界を得る。
• 関数 $ h(r) $ の漸近的挙動を用いて、写像 $ \Phi $ の単射性により次元推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の擬エリューディアン・セクショナル曲率をもつ擬エリューディアン多様体において、CR設定における三円定理は成立するか？
• RQ2 非負の曲率およびトータルねじれのゼロの下で、最初のCR Yauの均質化予想は確認可能か？
• RQ3 このような多様体における多項式的成長を示すCR正則関数の空間の鋭い次元推定は何か？
• RQ4 完備非コンパクトなCR多様体において、非負の擬エリューディアン・リッチ曲率をもつ正の擬調和関数に対して、Liouville定理は成立するか？
• RQ5 CRサブラプラシアン比較定理を用いて、CR正則関数の成長率に対する鋭い推定を導出できるか？

主な発見

• トータルねじれがゼロで、非負の擬エリューディアン・セクショナル曲率をもつ、完備非コンパクトな擬エリューディアン $ (2n+1) $-多様体に対して、CR三円定理が成立する。
• 最初のCR Yauの均質化予想が確認された：$ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n)) $ であり、等号が成立するならば、Heisenberg群への等長的バイホロモーフィズムである。
• 曲率がコンパクト集合の外で非負で、下から有界であるとき、次元推定 $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq C(\lambda,n) d^n $ が成立する。
• 十分に小さい $ \lambda = a(d_c(K))^2 $ に対して、$ \mathcal{O}_d^{CR}(M) $ の次元は $ \mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n) $ の次元によって抑えられ、剛性が示される。
• Liouville定理が成立する：トータルねじれがゼロで、非負の擬エリューディアン・リッチ曲率をもつ完備非コンパクトな擬エリューディアン多様体上の任意の正の擬調和関数は定数である。
• 次元推定は鋭い：$ \delta(\lambda) > 0 $ が存在して、$ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_{\delta(\lambda)}^{CR}(M)) = 1 $ が成り立ち、非自明関数の最小成長を示している。