[論文レビュー] Chern-Ricci flows on noncompact complex manifolds

Man-Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Tosatti-Weinkove および Lott-Zhang のコンパクトな結果を非コンパクトな設定に一般化することで、非コンパクトな複素多様体上のチャーン・リッチフローの存在基準を確立する。初期計量が最大体積成長を示す場合、任意の完備かつ非崩壊のケーラー計量で双曲的曲率が非負であるものは、非負かつ有界な双曲的曲率と最大体積成長を有する計量へと変形可能であり、その結果、このような多様体が $\mathbb{C}^n$ とbiholomorphically同値であることを新たな証明で示している。

ABSTRACT

In this work, we obtain existence criteria for Chern-Ricci flows on noncompact manifolds. We generalize a result by Tossati-Wienkove on Chern-Ricci flows to noncompact manifolds and at the same time generalize a result for Kahler-Ricci flows by Lott-Zhang to Chern-Ricci flows. Using the existence results, we prove that any complete noncollapsed Kahler metric with nonnegative bisectional curvature on a noncompact complex manifold can be deformed to a complete Kahler metric with nonnegative and bounded bisectional curvature which will have maximal volume growth if the initial metric has maximal volume. Combining this result with the result of Chau-Tam, we give another proof that a complete noncompact Kahler manifold with nonnegative bisectional curvature (not necessarily bounded) and maximal volume growth is biholomorphic to the complex Euclidean space. This last result has already been proved by Gang Liu recently using other methods. This last result is partial confirmation of a uniformization conjecture of Yau.

研究の動機と目的

• チャーン・リッチフローの存在基準をコンパクトな複素多様体から非コンパクトな設定へ一般化すること。
• 非コンパクトケーラー多様体上で有界な曲率を有する完備な計量に対して、Lott-Zhang のケーラー・リッチフローに関する結果をチャーン・リッチフローへ拡張すること。
• 非コンパクト多様体上に完備かつ非崩壊のケーラー計量で双曲的曲率が非負であるものが、有界かつ非負の双曲的曲率と最大体積成長を有する計量へと変形可能であることを証明すること。
• 非負の双曲的曲率と最大体積成長を有する完備非コンパクトケーラー多様体が $\mathbb{C}^n$ とbiholomorphically同値であることを、新たな証明で示すことにより、八田の均一化予想の特別な場合を確認すること。

提案手法

• 初期計量のケーラー形式を表す $\theta$ を用いて、非コンパクトなヘルミート多様体上でのチャーン・リッチフローを、微分方程式 $\frac{\partial \theta}{\partial t} = -\text{Ric}(\theta)$ により定義する。
• 一般化された存在基準を定義するため、$S_A$ を、計量が一様に同値である間のフローの存在時間区間の上限と定義し、$S_B$ を、ある $\beta > 0$ に対して $\theta_0 - S\text{Ric}(\theta_0) + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u \geq \beta \theta_0$ を満たす滑らかで有界な関数 $u$ が存在する時間区間の上限と定義する。
• 初期計量の双曲的曲率が $-K$ で下から有界であると仮定し、曲率およびその導関数が一様に制御されていると仮定するとき、$S_A = S_B$ の等価性を確立する。
• 共形変換技術と曲率推定を用いて、フロー下での計量およびその曲率の進化を制御する。
• 存在基準を、非負の双曲的曲率と最大体積成長を有するケーラー計量に適用し、それが有界かつ非負の双曲的曲率を有する計量へと変形可能であることを示す。
• 得られた計量構造と体積成長を用いて、[3] の結果を適用し、$\mathbb{C}^n$ とのbiholomorphically同値性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなヘルミート多様体上でのチャーン・リッチフローの存在基準を非コンパクトな設定へ拡張可能か？
• RQ2 非コンパクト多様体上でのLott-Zhangのケーラー・リッチフローに関する基準は、チャーン・リッチフローへ拡張可能か？
• RQ3 非コンパクトな複素多様体上に完備かつ非崩壊のケーラー計量で双曲的曲率が非負であるものが、有界かつ非負の双曲的曲率と最大体積成長を有する計量へと変形可能か？
• RQ4 非負の双曲的曲率と最大体積成長を有する完備非コンパクトケーラー多様体は $\mathbb{C}^n$ とbiholomorphically同値か？
• RQ5 チャーン・リッチフローは、八田の均一化予想の下で、$\mathbb{C}^n$ とのbiholomorphically同値性について新たな証明を提供するか？

主な発見

• 双曲的曲率が $-K$ で下から有界であるという条件下で、完備非コンパクトヘルミート多様体上でのチャーン・リッチフローに対して、$S_A = S_B$ の等価性が確立された。
• 非コンパクト複素多様体上に完備かつ非崩壊のケーラー計量で双曲的曲率が非負であるものが、有界かつ非負の双曲的曲率を有する完備ケーラー計量へとチャーン・リッチフローにより変形可能であることが証明された。
• 初期計量が最大体積成長を示す場合、フロー下での結果計量に対しても最大体積成長が成立する。
• 非負の双曲的曲率（必ずしも有界でない）と最大体積成長を有する完備非コンパクトケーラー多様体が $\mathbb{C}^n$ とbiholomorphically同値であることを、新たな証明により示した。これは八田の均一化予想の部分的な確認である。
• この結果は、以前の Liu の証明と整合的であるが、チャーン・リッチフローを幾何的変形ツールとして用いることで、新たな幾何的視点を提供する。
• 解析は、曲率推定と共形変換技術に依拠しており、フローの長時間存在性と正則性を保証するための制御に用いられた。