[論文レビュー] On the topology of arrangements of a cubic and its inflectional tangents

Shinzo Bannai, Benoît Guerville-Ballé+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$k$-Artal配置（滑らかな三次曲線と$ k $本の変曲接線からなるもの）に対して、$k = 3,4,5,6$ の場合に、部分配置と位相的不変量を分析することによって、Zariski対を構成する。このような対が存在することを証明し、特異点のうちの共線する三つ組の数によって幾何的に区別できることを示している。組合せ論的に同一な場合でも、タイプI（$k-3$ 個の共線する三つ組）とタイプII（$k-4$ 個の共線する三つ組）の配置は、位相的に同相でない対をなす。

ABSTRACT

A $k$-Artal arrangement is a reducible algebraic curve composed of a smooth cubic and $k$ inflectional tangents. By studying the topological properties of their subarrangements, we prove that for $k=3,4,5,6$, there exist Zariski pairs of $k$-Artal arrangements. These Zariki pairs can be distinguished in a geometric way by the number of collinear triples in the set of singular points contained in the cubic.

研究の動機と目的

• 滑らかな三次曲線とその変曲接線からなる可約平面曲線の $k=3,4,5,6$ の場合におけるZariski対を構成すること。
• 組合せ論的に同一な場合に、その位相的型を区別できる幾何的不変量を確立すること。
• $k$-Artal配置において、三次曲線上の特異点の共線する三つ組の数が、位相的不変量として機能することを示すこと。
• $D_6$-被覆、アレクサンダー多項式、分割数、リンク集合などの部分配置不変量を用いた方法を拡張し、同相でない構成を検出すること。

提案手法

• 滑らかな三次曲線 $E$ とその変曲点 $P_i$ における $k$ 本の変曲接線 $L_{P_i}$ の和集合として $k$-Artal配置を定義する。
• 3本の接線からなる部分集合に制限された、部分配置不変量 $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{D_6}$, $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{Alex}}$, $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{split}}$, および $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{lks}}$ を導入する。
• 既知の結果を用いる：$D_6$-被覆の存在とアレクサンダー多項式は、3つの変曲点の共線性に依存する。分割数とリンク集合もそれに応じて変化する。
• 共線する三つ組の数が $k-3$ 個のタイプIと $k-4$ 個のタイプIIの配置を定義し、構成を分類する。
• 同相写像が三次曲線を保存する場合、このような共線する三つ組の数が保存されることを証明し、位相的型を区別する。
• 部分配置法を適用する：部分配置で不変量が異なる場合、全体の配置は同相でないため、Zariski対が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k=3,4,5,6$ の場合に、組合せ論的に同一だが、$\mathbb{P}^2$ 内で同相でない位相的型をもつ $k$-Artal配置が存在するか？
• RQ2 $k$-Artal配置の特異点の間の共線する三つ組の数が、位相的不変量として機能するか？
• RQ3 基本群やアレクサンダー多項式を超える幾何的不変量は、可約平面曲線におけるZariski対を区別できるか？
• RQ4 3本の接線からなる部分集合に制限した不変量を用いた部分配置法により、$k$-Artal配置における同相でない構成を検出できるか？
• RQ5 $k=1,2,7,8,9$ の場合に、$k$-Artal配置においてZariski対が存在しないのはなぜか？

主な発見

• $k=3$ の場合、Zariski対が存在し、3つの変曲点が共線するかどうかによって区別される。共線する場合、$D_6$-被覆の存在などの不変量は1をとり、そうでない場合は0をとる。
• $k=4,5,6$ の場合、組合せ論的に同等なタイプI（$k-3$ 個の共線する三つ組）とタイプII（$k-4$ 個の共線する三つ組）の $k$-Artal配置は、Zariski対をなす。
• タイプIでは共線する三つ組の3要素部分配置の数が正確に $k-3$ 個、タイプIIでは $k-4$ 個であり、この数は三次曲線を固定する同相写像のもとで保存される。
• $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{D_6}$, $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{Alex}}$, $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{split}}$, および $\tilde{\Phi}_{E,\mathcal{L}_J}^{\mathrm{lks}}$ という、3本の接線からなる部分配置に制限した不変量は、共線性の有無に応じて異なる値を取り、これにより位相的区別が可能になる。
• 証明は、三次曲線を保存する同相写像が部分配置の間の全単射を誘導するが、共線する三つ組の数が異なるため、そのような写像が存在しないことから成り立っている。
• $k=1,2,7,8,9$ の場合、組合せ論的および位相的制約により、$k$-Artal配置においてはこのようなZariski対は存在しない。