[論文レビュー] On the Topology of Kac-Moody groups

Nitya R. Kitchloo|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Kac-Moody群の位相的構造を、そのパラボリック部分群を通じてコンパクトなリー群のコロイミットへのホモトピー同値性によって確立し、その分類空間がCW複体のホモトピー型をもつことを証明する。さらに、スティーナロード代数作用やホップ代数的性質を含むコhomological構造を発展させ、無限次元のリー群に類似した群を研究するための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

We study the topology of spaces related to Kac-Moody groups. Given a split Kac-Moody group over the complex numbers, let K denote the unitary form with maximal torus T having normalizer N(T). In this article we study the cohomology of the flag manifold K/T, as a module over the Nil-Hecke ring, as well as the (co)homology of K as a Hopf algebra. In particular, if F is a field of positive characteristic, we show that H_*(K,F) is a finitely generated algebra, and that H^*(K,F) is finitely generated only if K is a compact Lie group . We also study the stable homotopy type of the classifying space BK and show that it is a retract of the classifying space BN(T). We illustrate our results with the example of rank two Kac-Moody groups.

研究の動機と目的

• Kac-Moody群の位相的構造を、位相群の圏におけるコンパクトなリー群のコロイミットとして確立すること。
• 正の標数の体上のKac-Moody群およびそのフラッグ多様体のコhomologyおよびホモトピー型を解析すること。
• Kac-Moody群の分類空間が、最大トーラスの正規化群の分類空間のリトラクトであることを証明すること。
• 多くの場合、以前は未発表または弱い一般性のもとでのみ述べられていたホモロジー的構造定理の独立した証明を提供すること。
• Kの細胞複体構造を活用して、分類空間BKがCW複体のホモトピー型をもつことを示すこと。

提案手法

• 一般化されたカルタン行列とハリシュ・チャンドラ＝セール関係式を用いて、複素数体上でのスプリットKac-Moody群のユニタリ型としてKac-Moody群を構成する。
• ワイル群作用とシューベルト細胞分解を用いて、T-細胞の逐次付加によりKをT-CW複体として構成する。
• 安定移行の理論を適用して、分類空間BKとBN(T)を関連させ、BKがBN(T)のリトラクトであることを示す。
• 部分集合S(A)の順序集合上のコロイミット構造を用いてKの位相を定義し、パラボリック部分群への制限を通じて群準同型の連続性を保証する。
• スティーナロード代数とニルヘッケ環を用いてKおよびK/Tのコhomologyを分析し、モジュール構造およびホップ代数的性質を確立する。
• Kの細胞複体モデルを用いて、その分類空間BKが細胞複体のコロイミットであることを示し、したがってCW複体のホモトピー型にホモトピー同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moody群の位相は、そのパラボリック部分群およびワイル群作用を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 Kac-Moody群の分類空間BKのホモトピー型は何か？
• RQ3 コhomology環H*(K)およびH*(K/T)は、スティーナロード代数Ap-モジュールとしてどのように振る舞うか？
• RQ4 H*(K)のホップ代数的構造およびH*(K)の環構造は何か？
• RQ5 Kの細胞複体構造を用いて、分類空間BKがCW複体のホモトピー型をもつことを示せるか？

主な発見

• Kac-Moody群が、位相群の圏においてそのパラボリック部分群KJのコロイミットへのホモトピー同値性をもつことが示された。
• 分類空間BKは、最大トーラスTの正規化群の分類空間BN(T)のリトラクトである。
• BKは、細胞複体のコロイミットであり、細胞的包含を伴う有限型の細胞複体であるため、CW複体のホモトピー型をもつ。
• コhomology環H*(K/T)は、スティーナロード代数Ap-モジュールとして示され、ワイル群および消滅作用素によって誘導される豊かな構造を持つ。
• コhomology H*(K)はホップ代数的構造をもち、ホモロジーH*(K)は明確に定義された環構造を持つ。両者とも群構造と整合的である。
• Kの位相は閉じたシューベルト多様体Z̅wによって生成され、Kは有限型の自由T-CW複体であり、K/TのCW構造と整合的である。