[論文レビュー] On the torsion in symmetric powers on congruence subgroups of Bianchi groups

Jonathan Pfaff, Jean Raimbault|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双曲的3次元軌道体の有限体積な場合にまで拡張された、Bianchi群の合同部分群の第二コホモロジー群におけるねじれの指数的増加を確立する。対称表現のm乗表現におけるねじれ位数の対数的増加率は、~m²の割合で増加する。解析的ねじれと組合せ的Reidemeisterねじれを用いて、関連する軌道体の双曲的体積と合同部分群のレベルに依存する上界と下界を導出する。これは、従来のコンpaktoな場合に限った結果から、有限体積な算術的3次元多様体への拡張である。

ABSTRACT

In this paper we prove that for a fixed neat principal congruence subgroup of a Bianchi group the order of the torsion part of its second cohomology group with coefficients in an integral lattice associated to the m-th symmetric power of the standard representation of SL_2(C) grows exponentially in m^2. We give upper and lower bounds for the growth rate. Our result extends a result of Mueller and Marshall, who proved the corresponding statement for closed arithmetic 3-manifolds, to the finite-volume case. We also prove a limit multiplicity formula for twisted combinatorial Reidemeister torsion on higher dimensional hyperbolic manifolds.

研究の動機と目的

• Bianchi群の合同部分群の第二コホモロジー群におけるねじれの増加を、標準表現の対称表現によるねじれの増加の関数として定量すること。
• 従来、コンパクトな算術的3次元多様体に対して確立されていた指数的ねじれ増加の結果を、Bianchi群の非コンパクトで有限体積な場合にまで拡張すること。
• 高次元の双曲的多様体における、ねじれの変形された組合せ的Reidemeisterねじれの極限乗法公式を構築すること。
• 合同部分群のレベルと商空間の双曲的体積を用いて、ねじれ位数の増加率の明示的な上界と下界を提供すること。

提案手法

• 著者らは、有限体積な双曲的3軌道体における正則化された解析的ねじれを用い、極限乗法公式を通じて組合せ的Reidemeisterねじれと関連付ける。
• 標準表現 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ のm乗対称表現 $V(m)$ における、$\Gamma(\mathfrak{a})$-不変な整数格子 $\Lambda(m)$ を構成する。
• 係数が $\Lambda(m)$ であるコホモロジー複体を分析することで、境界作用素のノルムと表現行列のスペクトル的性質を用いて、ねじれ部分群の大きさを評価する。
• 普遍係数定理を適用し、境界写像の余核を推定することで、境界行列の行列式を介してコホモロジーにおけるねじれを評価する。
• この手法は、$KAK$-分解と対称表現のノルム推定に依存し、境界作用素のノルムの増加を制御する。
• 基準レベル $\mathfrak{a}_0$ を用いて上界を精緻化し、解析的ねじれの差を用いてEisenstein級数の寄与とねじれを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bianchi群の合同部分群の第二コホモロジー群におけるねじれは、対称表現のインデックス $m$ の関数としてどのように増加するか？
• RQ2 コンパクトな算術的3次元多様体に対して既に確立された指数的ねじれ増加の結果は、Bianchi群の有限体積な場合にまで拡張可能か？
• RQ3 双曲的体積と合同部分群のレベルを用いて、ねじれ位数の対数的増加率の明確な上界と下界は何か？
• RQ4 高次元の双曲的多様体における、対称表現によるねじれの変形された組合せ的Reidemeisterねじれは、漸近的にどのように振る舞うか？

主な発見

• コホモロジー群 $H^2(\Gamma(\mathfrak{a}); \Lambda(m))_{\text{tors}}$ のねじれ部分群の位数は $m^2$ に対して指数的に増加し、対数的増加率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 - \frac{C_1(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$ で下から抑えられる。
• 対数的増加率の上界は $\frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 + \frac{C_2(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$ であり、体積依存の割合で指数的増加を示している。
• $D = -7, -11, -19, -43, -67, -163$ の場合、類数が1で単数群が $\{\pm 1\}$ であるとき、定数 $C_1(\Gamma_D)$ は4に取れる。
• 第一コホモロジー群におけるねじれは $O(m \log m)$ 以内に増加するため、第2次元と比べて著しく遅い増加を示す。
• 著者らは、高次元の双曲的多様体における、ねじれの変形された組合せ的Reidemeisterねじれの極限乗法公式を証明し、高レベルにおける解析的ねじれと組合せ的ねじれを結びつける。
• 上記の境界は、$V(m)$ 内の $\Gamma(\mathfrak{a})$-不変格子の選択に依存せず安定である（命題7.3で示された）。