[論文レビュー] On the unirationality of higher dimensional Ueno-type manifolds

Fabrizio Catanese, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$E(6)^4$ に位数6の巡回群の対角作用を施した商の最小解消として得られるUeno型多様体 $X_{4,6}$ の有理的性（unirationality）を証明する。ここで $E(6)$ は等調和楕円曲線である。証明は座標間の対称的関係を用いて有理的ファイブレーションを構成し、対角的3次超曲面の幾何を分析することに依拠しており、$X_{4,6}$ が3次方程式によって定義されるアフィン空間内の完全交差と双有理同値であることを確立する。

ABSTRACT

We prove the unirationality of the Ueno-type manifold $X_{4,6}$. $X_{4,6}$ is the minimal resolution of the quotient of the Cartesian product $E(6)^4$, where $E(6)$ is the equianharmonic elliptic curve, by the diagonal action of a cyclic group of order 6 (having a fixed point on each copy of $E(6)$). We collect also other results, and discuss several related open questions.

研究の動機と目的

• 位数6の巡回群の対角作用による $E(6)^4$ の商の最小解消として得られるUeno型多様体 $X_{4,6}$ の有理的性を確立すること。
• アーベル多様体に有限群作用を施して得られる高次元のCalabi–Yau型多様体における有理的性と有理的性（unirationality）の理解を拡張すること。
• UenoおよびOguisoが提起した、$3 \leq n \leq 5$ に対して $X_{n,6}$ の分離的有理的性（separable unirationality）に関する未解決問題に応えること、特に $n=4$ および $n=5$ の場合に焦点を当てる。
• 同様の商構成に適用可能な幾何学的・代数的道具（有理写像、吹き上げ、双有理不変量など）を提供すること。

提案手法

• 対称的座標 $s_3, s_4, s_5$ および $w_2, w_3, w_4, w_5$ を導入し、$X_{4,6}$ の函数体をパラメトライズする有理的ファイブレーションを構成すること。
• $w_i^3 - 1$ と $s_3, s_4$ に関する有理関数を含む3次関係を用いて、$k(X_{4,6}) = k(s_3, s_4, w_2, w_3, w_4)$ という体拡大を定義すること。
• 変数 $w_2, w_3, w_4, w_5$ における対角的3次方程式で定義される超曲面 $H$ を分析し、$s_3, s_4, s_5$ に関する3次多項式を係数とする。これは完全交差をなす。
• $H$ の有理的構造を、7個の基点を持つ3次形式によって定義される有理写像 $\phi: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$ に写像し、吹き上げによって2次デル・ペッツォ表面が得られることを示すこと。
• $\phi$ の分岐除集合を、$\mathcal{B} = \{abc(a+b+c) = 0\}$ として特定し、これは4次曲線を定義する。また、$\phi$ の分岐除集合が6本の直線を持つ6次曲線であることを同定する。
• デル・ペッツォ表面の2重被覆構造を用いて、$X_{4,6}$ の函数体が $\mathbb{P}^2$ の函数体の上に有理的であることを示し、これにより有理的性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X_{3,6}$ が有理的であることが既知であるが、Ueno型多様体 $X_{4,6}$ は有理的か？
• RQ2 $X_{4,6}$ の有理的性を証明する手法を $X_{5,6}$ の有理的性の証明に拡張可能か？
• RQ3 $X_{4,6}$ は有理的か、あるいは有理的パラメトライゼーションを持たないが有理的パラメトライゼーションのみを許容するか？
• RQ4 ジーゼル対合および2次デル・ペッツォ表面は、$X_{4,6}$ の双有理幾何学において果たす役割は何か？
• RQ5 $GL(n, \mathbb{Z})$ および円分環によって誘導される対称性は、これらの多様体の有理的性および有理的性（unirationality）とどのように関係するか？

主な発見

• Ueno型多様体 $X_{4,6}$ は、座標 $s_3, s_4, w_2, w_3, w_4$ 間の対称的関係を用いて有理的ファイブレーションを構成することにより、有理的であることが示された。
• $k(X_{4,6})$ は、2つの双次数 $(3,3)$ の3次関係を満たす $s_3, s_4, w_2, w_3, w_4$ によって生成され、$X_{4,6}$ が $\mathbb{A}^7$ 内の完全交差と双有理同値であることが示された。
• 3次形式によって定義される有理写像 $\phi: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$ は7個の不定点を持つが、その吹き上げにより2次デル・ペッツォ表面が得られ、これは $\mathcal{B} = \{abc(a+b+c) = 0\}$ によって定義される4次曲線を分岐曲線とする $\mathbb{P}^2$ の2重被覆である。
• $\phi$ の分岐除集合は6本の直線を持つ6次曲線であり、その厳密な像はデル・ペッツォ表面上で $(-1)$-曲線を点 $e, e_1, e_2, e_3$ 上に持ち、2重被覆構造が確認された。
• $n=5$ に同様の手法を適用すると、$X_{5,6}$ の双有理モデルが $\mathbb{A}^7$ 内の2つの3次方程式 $s_3, s_4, s_5, w_2, w_3, w_4, w_5$ によって定義される完全交差として得られ、$X_{5,6}$ の有理的性が可能性として示唆された。
• この構成により、$X_{4,6}$ は $K$-有理的でないことが確認された。これは特定の有理関数が立方でないという条件から導かれるため、この場合、有理的性が有理的性を含まず、有理的性が有理的性を含まないことが示された。