[論文レビュー] Unirationality of Ueno-Campana's threefold

Fabrizio Catanese, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、三重被覆の有理的写像を用いて、Ueno-Campanaの三様体が有理的であることを証明している。具体的には、有理的切断を持つ円錐被覆のガロア商を通じて、$√{3}$ から三様体への支配的有理写像を構成している。主な構成は、三様体の函数体を $√{4}√{Z}$-作用の不変部分体として特定し、ファイバー積と体拡張を用いて有理的三様体との中間的な有理同型を示すことである。

ABSTRACT

We shall prove that the threefold studied in the paper "Remarks on an Example of K. Ueno" by F. Campana is unirational. This gives an affirmative answer to a question posed in the paper above and also in the book by K. Ueno, "Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces".

研究の動機と目的

• 複素数体 $√{C}$ 上での代数幾何学における長年の未解決問題、すなわちUeno-Campanaの三様体の有理的性または有理的性に関する問題を解決すること。
• 3つの楕円曲線の商の blown-up として得られる三様体 $X$ が有理的であることを確立すること。
• 体の不変量とファイバー積の構成を用いて、$√{3}$ からの支配的有理写像を構成的に証明すること。
• 三様体 $X$ を $√{2}$ 上の有理的切断を持つ円錐被覆と関連付けることで、$X$ の有理的幾何を明確にすること。
• 今後、$X$ が有理的であるかどうか、単に有理的であるというより深い考察の土台を築くこと。

提案手法

• 三様体 $X$ の函数体 $k(X)$ を、各 $C_i$ が1種数の曲線で、$g$-作用の位数が4である $Z = C_1 \times C_2 \times C_3$ 上の $g$-作用の固定部分体 $k(Z)^g$ として特定する。
• 比 $b_2 = x_2/x_1$, $b_3 = x_3/x_1$, $a_2 = y_2/y_1$, $a_3 = y_3/y_1$ および不変量 $u_1 = x_1^2$, $w_1 = y_1^4$, $\lambda_1 = x_1 y_1^2$ で生成される $k(Z)$ の部分体 $L \subset k(Z)$ を定義する。
• ガロア理論を用いて $k(X) = L$ を証明する：$[k(Z):k(X)] = 4$, $[k(Z):L] \leq 4$, かつ $L \subset k(X)$ であるから、$k(X) = L$ である。
• 恒等式 $y_1^2 = x_1(x_1^2 - 1)$ を用いて、$w_1$ と $\lambda_1$ を $u_1, b_2, b_3, a_2, a_3$ の有理関数として表現することで、$L = k(u_1, b_2, b_3, a_2, a_3)$ を示す。
• 方程式 $a^2\beta(1 - \beta^2) = \alpha^2 b(1 - b^2) + b\beta(b^2 - \beta^2)$ で定義される円錐被覆 $H \to \mathbb{A}^2_{b,\beta}$ を構成し、これは $X$ に有理同型であることを示す。
• 写像 $b = s^2$, $\beta = t^2$ を用いて、$Q = H \times_{\operatorname{Spec} k[b,\beta]} \operatorname{Spec} k[s,t]$ のファイバー積を形成し、$√{3}$ に有理同型な有理的三様体 $Q$ を得る。この $Q$ は有理的切断を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ueno-Campanaの三様体 $X$ は複素数体 $√{C}$ 上で有理的であるか？
• RQ2 三様体 $X$ は $√{2}$ 上の有理的切断を持つ円錐被覆として有理同型に実現可能か？
• RQ3 三様体 $X$ の函数体は $√{4}√{Z}$-作用の不変量によって生成可能であり、これにより $√{3}$ からの支配的有理写像を構成可能か？
• RQ4 円錐被覆のガロア被覆に有理的切断が存在することは、元の三様体の有理的性を示唆するか？
• RQ5 有理的底面とのファイバー積構成を用いて、三様体 $X$ が有理的多様体と有理同型に示せるか？

主な発見

• 三様体 $X$ は有理的である：$√{3} \dashrightarrow X$ となる支配的有理写像が存在する。
• 函数体 $k(X)$ は部分体 $L = k(u_1, b_2, b_3, a_2, a_3)$ に等しく、これは $g$-作用の不変部分体である。
• 三様体 $X$ は方程式 $a^2\beta(1 - \beta^2) = \alpha^2 b(1 - b^2) + b\beta(b^2 - \beta^2)$ で定義される円錐被覆 $H \to \mathbb{A}^2$ に有理同型であり、$k(b,\beta)$ 上には有理的切断がない。
• 写像 $b = s^2$, $\beta = t^2$ を用いたファイバー積 $Q = H \times_{\operatorname{Spec} k[b,\beta]} \operatorname{Spec} k[s,t]$ により、$√{3}$ に有理同型な有理的三様体 $Q$ が得られる。
• 射影 $Q \to \operatorname{Spec} k[s,t]$ の一般ファイバーは、点 $(a,\alpha) = (s,t)$ を有理的点として持ち、したがって $k(s,t)$ 上で $√{1}$ に同型である。これより $k(Q) \cong k(s,t,v)$ である。
• $Q$ が有理的であり、写像 $Q \to H$ が次数4の有限写像であることから、$H$ は有理的であり、$H$ が $X$ に有理同型であることから、$X$ は有理的である。