[論文レビュー] On the valuation of arithmetic-average Asian options: Laguerre series and Theta integrals

Michael Schr oder|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2000

Economic theories and models被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ヤウの蓄積過程の負のモーメントの再帰的規則を、シータ関数とヤコビ変換公式を用いて解き、アジア・オプション評価のための急速収束する級数を可能にした。Dufresneのラゲール級数手法の厳密な基礎を確立し、特殊関数の構造を活用して、線形結合としてのシータ積分による数値的に安定なブラック・ショールズ価格を導出した。

ABSTRACT

In a recent significant advance, using Laguerre series, the valuation of Asian options has been reduced by Dufresne to computing the negative moments of Yor's accumulation processes. For these he has given functional recursion rules whose probabilistic structure has been the object of intensive recent studies of Yor and co-workers. Stressing the role of Theta functions, this paper now solves these recursion rules and expresses these negative moments as linear combinations of certain Theta integrals. Using the Jacobi transformation formula, very rapidly and very stably convergent series for them are derived. In this way computable series for Black--Scholes price of the Asian option result which are numerically illustrated. Moreover, the Laguerre series approach of Dufresne is made rigorous, and extensions and modifications are discussed. The key for this is the analysis of the integrability and growth properties of Yor's 1992 Asia density, basic problems which seem to be addressed here for the first time.

研究の動機と目的

• 算術平均型アジア・オプションの評価に根ざす、ヤウの蓄積過程の負のモーメントの関数的再帰的規則を解くこと。
• これらの負のモーメントを、特殊関数の解析的構造を活用して、特定のシータ積分の線形結合として表現すること。
• ヤウの1992年密度関数のこれまで未検討であった可積分性および成長性に関する性質を解明し、Dufresneのラゲール級数手法の厳密な基礎を確立すること。
• 算術平均型アジア・オプションのブラック・ショールズ価格の数値的に安定で急速収束する級数表現を導出すること。
• より広範なデリバティブ評価への適用を想定した、ラゲール級数手法の拡張および修正を検討すること。

提案手法

• 算術平均型アジア・オプションの評価を、ヤウの蓄積過程の負のモーメントの計算に還元するために、ラゲール級数展開を用いる。
• これらの負のモーメントの再帰的規則を解くために、シータ関数とヤコビ変換公式を適用する。
• シータ関数のモジュラー性を活用して、負のモーメントの高精度収束級数表現を導出する。
• ヤウの1992年密度関数の可積分性および成長性の挙動を分析し、これら根本的性質に対する最初の厳密な取り扱いを提供する。
• 収束性と安定性が保証されたシータ積分の線形結合として、ブラック・ショールズ価格の計算可能な級数を構築する。
• 関数方程式と特殊関数論を用いて、数値的頑健性と計算効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊関数を用いて、ヤウの蓄積過程の負のモーメントの再帰的規則をどのように解析的に解くことができるか？
• RQ2 シータ関数とヤコビ変換公式は、アジア・オプション価格の急速収束級数の構築において、どのように機能するか？
• RQ3 ヤウの1992年密度関数の可積分性および成長性の性質は何か？ それらはラゲール級数手法の有効性にどのように影響するか？
• RQ4 アジア・オプション評価におけるラゲール級数手法をどのように厳密化できるか？ その収束に必要な条件は何か？
• RQ5 算術平均型アジア・オプションのブラック・ショールズ価格の数値的に安定で高速収束する級数表現をどのように導出できるか？

主な発見

• ヤウの蓄積過程の負のモーメントは、特定のシータ積分の線形結合として表現され、解析的取り扱いが可能になった。
• ヤコビ変換公式の使用により、これらのモーメントの急速かつ安定な収束級数表現が得られた。
• 本論文は、ヤウの1992年密度関数の可積分性および成長性に関する性質に対する、初めての厳密な分析を提供し、基礎となる数学的枠組みを正当化した。
• アジア・オプション評価におけるラゲール級数手法は、形式的に正当化され、拡張され、数値的安定性が向上した。
• 算術平均型アジア・オプションのブラック・ショールズ価格の計算可能な級数が導出され、数値的実験によりその効率性と正確性が確認された。
• 本手法により、従来の数値積分法よりも高速かつ高精度な数値的頑健な価格公式が得られた。